Aceleración

En Física, la VELOCIDAD se define como una magnitud vectorial que consta de un valor numérico (la rapidez) y una dirección.

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B@UNAM

Aceleración

Supongamos que salimos de viaje, y que al salir de la caseta de cobro de la carretera a Pachuca, se tomó el registro de la distancia en metros que recorrían cada segundo. Los datos aparecen en la siguiente tabla. Piensa un poco, ¿crees que empezamos a transitar con movimiento uniformemente acelerado? Si es así, ¿cuál es la aceleración?

xyΔyΔ2y
00
133 - 0 = 3
21212 - 3 = 99 - 3 = 6
32727 - 12 = 1515 - 9 = 6
44848 - 27 = 2121 - 15 = 6
57575 - 48 = 2727 - 21 = 6

¿Es un MUA?

Observa la última columna, ésta muestra el cambio del cambio, y los valores que obtenemos son constantes y seguramente tu respuesta fue que SÍ hay variación cuadrática ¡Por lo tanto es un MUA! Este tipo de movimiento se modela con una función cuadrática de la forma $d = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + d_0$, donde a es la aceleración, y $v_0$ y $d_0$ son respectivamente, la velocidad y la distancia inicial. En este caso, ambas son cero, pues el coche estaba parado antes de abandonar la caseta de cobro.

¿Tienes alguna idea de cuál es la aceleración?

Veamos, en un MUA sabemos que la velocidad (el cambio de la distancia por unidad de tiempo) NO es constante, pero va cambiando uniformemente; es decir, se presenta el mismo cambio en la velocidad por unidad de tiempo, por lo que la aceleración es constante.

Así que la constante 6 parece ser la aceleración. Pero, si $a = \frac{v}{t} = \frac{Δv}{Δt}$, ¿por qué la encontramos así si solamente calculamos restas?

Descifrando el misterio de la aceleración

Tomada de: https://cdn.pixabay.com/photo/2016/03/27/17/55/light-1283279_960_720.jpg

Para entender por qué la aceleración es precisamente la constante que obtenemos en la cuarta columna de la tabla anterior, revisemos los conceptos de velocidad y aceleración.

  • En Física, la VELOCIDAD se define como una magnitud vectorial que consta de un valor numérico (la rapidez) y una dirección. Obtenemos la rapidez de un movimiento al calcular el cambio de la distancia $(Δd)$ ENTRE el tiempo empleado en recorrerla $(Δt)$. De esta manera el cociente $\frac{Δd}{Δt}$ nos proporciona la RAPIDEZ PROMEDIO que lleva un móvil durante el intervalo de tiempo $Δt$. Como en la tabla tomamos valores del tiempo consecutivos en todos los casos, entonces $v_f = \frac{Δd}{Δt} = \frac{Δd}{1} = Δd$. Así los valores de la tercera columna $(Δd)$ de nuestra tabla en el ejemplo anterior constituyen las rapideces promedio con que se manejaba en cada intervalo de tiempo de UN segundo de duración. Recuerda que si la dirección del movimiento es la misa, podemos hablar de VELOCIDADES PROMEDIO.
  • Es importante que distingas la diferencia entre la velocidad promedio que se lleva en un intervalo de tiempo y la velocidad en un instante dado. Reflexiona sobre lo siguiente: si en un viaje recorriste en línea recta 60 km en una hora, tu velocidad PROMEDIO fue de 60 km/h. Eso no necesariamente quiere decir que TODO el tiempo manejabas a esa velocidad. Seguramente en un momento del viaje al ver tu velocímetro, éste marcaba otra cantidad, supongamos que 80 km/h. ¡Esa es una velocidad instantánea!, es decir, la que llevabas en ese preciso instante. Si la velocidad inicial es cero, la fórmula para calcular la velocidad de un movimiento uniformemente acelerado es $v = at$. Esta función es tu VELOCÍMETRO MATEMÁTICO, mientras que los valores de $\frac{Δd}{Δt}$ te proporcionan las velocidades promedio.
  • Cuando la velocidad NO ES CONSTANTE sabemos que se produce una ACELERACIÓN (positiva cuando aumenta la velocidad o negativa cuando disminuye). En otras palabras, la aceleración nos mide el cambio que sufre la velocidad $(Δv)$ en un intervalo de tiempo. El cociente $\frac{Δv}{Δt}$ precisamente proporciona la ACELERACIÓN PROMEDIO en el intervalo de tiempo $(Δt)$. Si la aceleración es CONSTANTE, al aceleración PROMEDIO tendrá el MISMO VALOR en todos los casos. Eso es lo que sucedió en los valores de la cuarta columna.
  • Como la aceleración es el cambio de la velocidad respecto a un intervalo de tiempo, y la velocidad es el cambio de la distancia en relación al tiempo empleado, tenemos que la aceleración promedio es el cambio del cambio de la distancia por unidad de tiempo. A esto lo llamamos el segundo cambio de la distancia por unidad de tiempo, y por eso lo representamos en la cuarta columna de la tabla como $\frac{Δ_2d}{(Δt)^2}$. Aunque como $Δt=1$ omitimos hacer la división, y bastaba con hacer las restas representadas por $Δ_2d$.
  • En resumen, cuando los valores del tiempo son consecutivos (0, 1, 2,3,4 , etc) o al menos cuando $Δt$ es el mismo en todos los casos, para saber si los datos de una tabla respecto a la distancia que recorre un móvil corresponden a un movimiento uniformemente acelerado (MUA), lo único que tenemos que hacer es:

    a) Calcular las dos columnas adicionales para los valores de $\frac{Δd}{Δt}$ y $\frac{Δ_2d}{(Δt)^2}$.

    b) Si los valores de t son consecutivos tenemos que $Δt=1$. Por ello, podemos omitir las divisiones y sólo calcular las restas correspondientes a $Δd$ y $Δv = Δ_2d$.

    c) Si la cuarta columna obtenemos una constante quiere decir que efectivamente se trata de un MUA, además ¡¡es constante la aceleración!!

De los datos, ¿cómo obtengo la función?

Tenemos los datos de la siguiente tabla. Exploremos primero si se trata de un movimiento uniformemente acelerado, y si es el caso, construyamos la función que lo describe. Como los datos para el tiempo son consecutivos (0, 1, 2, 3, etc.) sabemos que $∆t=1$, por lo que podemos ahorrarnos todas las divisiones. Observa que dentro de los datos de la tabla nos informan que la velocidad y la aceleración inicial (cuando t=0) son ambas cero.

Tiempo t segundosDistancia en metros$v_f = \frac{Δd}{Δt}m/s$$a_f = \frac{Δ_2d}{(Δt)^2} m/s^2$
0000
12.52.5 - 0 = 2.5
21010 - 2.5 = 7.57.5 - 2.5 = 5
322.522.5 - 10 = 12.512.5 - 7.5 = 5
44040 - 22.5 = 17.517.5 - 12.5 = 5
562.5¿?¿?

Calcula el último valor de $v_f$ y de $a_f$

$v_f = 62.5 - 40 = 22.5$

$a_f = 22.5 - 17.5 = 5$

Ahora, como siempre obtuvimos 5 en la cuarta columna, quiere decir que la aceleración a = 5 es constante y por ello, efectivamente se trata de un MUA. Las funciones asociadas a este movimiento son:

Para la aceleración: a = 5 m/s2

Para la velocidad: v = 5t m/s (La fórmula es v = at cuando la velocidad inicial es cero).

Para la distancia $d = \frac{1}{2}(5)t^2 = 2.5t^2m$ (Recuerda que la fórmula $d = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + d_0$ se reduce a = $d = \frac{1}{2}at^2$ cuando $d_0 = 0 $ y $v_0 = 0$).

Sabemos que es mucha información, pero en la medida que vayas practicando estos conceptos, los dominarás por completo.

Autoevaluación

Para fortalecer estos conceptos, te invitamos a realizar el siguiente ejercicio.

En un fin de semana se decide visitar el pueblo mágico de Tepoztlán, que se encuentra en el Estado de Morelos. Para llegar a él desde la Cd. De México debe cruzarse la caseta de cuota hacia Cuernavaca, la tabla siguiente muestra el tiempo en segundos que se tarda en arrancar nuestro vehículo al salir de la caseta.

Tiempo t segundosDistancia en metros $v_f = \frac{Δd}{Δt} m/s$$a_f = \frac{Δ_2d}{(Δt)^2 m/s^2}$
0000
144(c) ¿?
215117
333(b) ¿?7
458257
5(a) ¿?327

Responde las siguientes preguntas:

1. En un MUA la velocidad es constante

2. ¿Cuánto vale la velocidad inicial?

3. ¿Cuánto vale la aceleración inicial?

4. La distancia en metros recorrida en el segundo 5 es de ...

5. La velocidad final en el minuto 3 es de ...

6. La aceleración en el minuto 1 es de …

7. Con base en la columna de aceleración, el movimiento es un …

8. El cambio del cambio de la distancia por unidad de tiempo

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