Introducción

Las funciones reales, son funciones que tienen como dominio y codominio algún subconjunto de los números reales. Estas funciones se representan gráficamente en el plano cartesiano, a cada número real $x$ en el dominio -representado por los puntos en el eje horizontal- se le asocia un solo valor $f(x)$ en el codominio -los puntos en el eje vertical- el conjunto de pares $(x,f(x))$ forman la gráfica de la función. En general, denotamos a estas funciones como $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

Existen muchos tipos de funciones reales, conociendo algunas es posible construir otras nuevas mediante las operaciones con funciones. Para estudiarlas más fácilmente se clasifican de acuerdo a sus propiedades en distintas categorías.

Veremos aquí algunas de las más usadas.

Funciones Implícitas

Son funciones en las que ninguna de sus variables está despejada. Por ejemplo:

$$xy-2y=1$$

$$3 sen (x)- y= \pi$$

$$-3 log(x) +2y=5$$

Funciones Explícitas

En contraposición a lo anterior, en estas funciones alguna de sus variables está despejada. Las mismas funciones que usamos como ejemplo antes pueden cambiar a su forma explícita si despejamos la variable $x$ o la variable $y$. Observa:

Funciones Algebraicas

Son las funciones que expresan mediante una ecuación polinomial coeficientes son números reales. Estas funciones pueden ser expresadas en términos de una sucesión finita de operaciones algebraicas (suma, resta, producto, división, potencia y raíz) sobre los coeficientes y las variables independientes que le sirven de argumento.

Son ejemplo de este tipo de funciones las polinomiales (todas, incluyendo, lineales, cuadráticas, cúbicas y todas las potencias), las racionales (es decir cociente de polinomiales) y las raíces (todas aquellas en las que se aplican radicales).

Ejemplos: $$f(x)=\sqrt{\frac{5x^{4}+3x^{2}}{2}}$$ $$y=\left(\frac{-7x^{3}-1}{2x^{2}+3}\right)^{6}$$

Funciones Trascendentes

También se les llama funciones no algebraicas , son aquellas que no satisfacen una ecuación polinomial de coeficientes reales. Entonces, a diferencia de las algebraicas, no es posible expresarlas mediante una sucesión finita de operaciones algebraicas.

Ejemplos de funciones trascendentes

• Las funciones trigonométricas directas:

  $sen(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)$.

  Por ejemplo:

  $$f(x)= tan^{2}(5x – 7)$$ $$ó$$

  $$g(x)=\frac{sen (x) cos (x^{3})}{4}$$

• Las funciones trigonométricas inversas:

  Permiten determinar el valor de un ángulo a partir del valor dado una función trigonométrica.

  trigonométrica $x$: $arcsen(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x), arcsec(x), arccsc(x)$

  Por ejemplo:

  $$f(x)=arccos(x+5)$$ $$ó$$

  $$g(t)=arctan(t^{2})$$

• Las funciones logarítmicas:

  Por ejemplo:

  $$f(z)=log\left(z+\frac{2}{9}z^{2}-8\right)$$ $$ó$$

  $$g(x)= ln(x)$$

• Las funciones exponenciales:

  Por ejemplo:

  $$f(x)=5^{6x-13}$$ $$ó$$

  $$g(x)=e^{-\frac{1}{3}x}$$

Funciones crecientes y decrecientes

Seguramente estas dos palabras te son familiares y puedes suponer lo que significan en la gráfica de una función. En términos matemáticos las características de estas funciones se definen como sigue:

Si a medida que los valores de $x$ aumentan, los valores de su imagen, $y=f(x)$ también aumentan, tenemos una función creciente. Es decir, si para $x_1 < x_2$ se cumple que $f(x_1) < f(x_2)$  entonces tenemos una función creciente.

Por el contrario, si para $x_1 < x_2$ se cumple que $f(x_1) > f(x_2)$  entonces tenemos una función decreciente. Dicho en lenguaje más cotidiano, si al aumentar los valores de $x$, los valores de sus imágenes disminuyen, la función es decreciente.

Grafica las siguientes funciones en Geogebra, en cada caso observa qué pasa con los valores de $f(x_1) = y_1$ y $f(x_2) = y_2$ cuando cambias los valores de $x_1, x_2$, es decir, prueba con algunos pares de valores y responde: si $x_1< x_2$ ¿cómo son los valores de $y_1$ y $y_2$?

1. $f(x)=x+sen (x)$
2. $g(x)=-log (3x-1)$
3. $h(x)=\sqrt{x}$
4. $k(x)=$$-0.5x^{3}$+$0.48x^{2}$-$0.24x+0.12$

¿Qué conclusiones obtuviste? ¿cómo son estas funciones?

Respuestas:

1) Creciente

2) Decreciente

3) Creciente

4) Decreciente

Funciones inyectivas

Una función es inyectiva si cada valor de $f(x)$ está asociado únicamente con un valor de $x$. Las siguientes gráficas pueden ayudarnos a entender este concepto.

En la primera gráfica puedes notar que $y= 1$ está asociado a $x= -1$ y también a $x= 1$. En cambio, en la segunda gráfica puedes ver que cada valor  $y$ tiene asociado sólo un valor $x$. ¿Notas la diferencia? Las funciones inyectivas también son llamadas funciones uno a uno.

Para determinar de manera rápida si una función es inyectiva, puedes hacer uso de rectas horizontales: si trazamos rectas horizontales y sólo cortan una vez a la gráfica, entonces la función es inyectiva. Por el contrario, si hay más de un cruce, la función no es inyectiva.

Analicemos las gráficas de las funciones trascendentes más importantes:

Empecemos por las funciones trigonométricas básicas. ¿Serán inyectivas?

Funciones suprayectivas

El conjunto formado por todos los valores de una función, se llama rango o imagen de la función. decimos que una función es suprayectiva si su codominio y su rango son iguales. Usemos un ejemplo para explicar este concepto. Observa la siguiente gráfica y determina su rango:

El rango de esta función son los números reales menores o iguales que 10, $y \in \mathbb{R}, y\leq 10$ ¿de acuerdo? Es decir, de todos los números reales que existen, la gráfica utiliza un subconjunto, no todo el conjunto (por ejemplo no hay ningún número real cuya imagen sea $11$).

Entonces esta función no es suprayectiva porque su codominio y su rango son conjuntos distintos. Recuerda que el rango son sólo los valores que usa la función –como imágenes- solamente cuando ambos conjuntos son iguales, la función es suprayectiva.

Ahora, observa esta recta:

En este caso el rango son todos los números reales, pues la gráfica se prolonga infinitamente -hacia arriba y hacia abajo- así que los cubre a todos.

¿Recuerdas las gráficas de la pantalla anterior? ¿Entre las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas habrá alguna suprayectiva?

Funciones biyectivas

Una función es biyectiva si  es inyectiva y suprayectiva.

De nuestro análisis de las funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, ¿puedes decir cuáles son biyectivas?

Autoevaluación

Clasifica las siguientes funciones de acuerdo a los criterios que has aprendido.

1. $a(x)=tan(x)$
2. $f(x)=x^{2}-4$
3. $e(x)=cot(x)$
4. $g(x)=\sqrt{x-3}$
5. $b(x)=ln(x)$
6. $m(x)=log_{10}(x)$
7. $c(x)=e^{x}$
8. $k(x)=sec(x)$
9. $j(x)=csc(x)$
10. $d(x)=10^{x}$
11. $h(x)=sen(x)$
12. $j(x)=cos(x)$