Supongamos que sabemos que cierto clavadista define en su clavado, una trayectoria dada por la siguiente función:

$$f(t) = -5t^2+5t+10$$

Aquí la $t$ representa el tiempo, medido en segundos, y $f(t)$ la distancia, medida en metros, a la que el clavadista se encuentra de la superficie de la alberca. Supongamos que queremos saber en cuánto tiempo llega la persona al agua.

Si construimos un plano cartesiano para graficar la trayectoria, en el eje de las abscisas estará el tiempo $t,$ y en el de las ordenadas la distancia a la superficie de la alberca $f(t),$ de manera que cada punto de la trayectoria será de la forma $(t,f(t))$. La curva definida por esta trayectoria es una parábola invertida (revisa las uapas sobre la parábola, las de secciones cónicas y la de gráficas de funciones cuadráticas).

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Entonces, suponiendo que la persona se lanza de una plataforma que está a diez metros de altura, y queremos saber en qué momento toca la superficie del agua, necesitamos saber en qué tiempo sucede que $f(t)=0$.

$$-5t^2 +5t+10=0$$

Esta es una ecuación de segundo grado (o cuadrática) por lo que podemos resolverla usando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas.

Para usarla, partimos de una ecuación de la forma: $ax^2+bx+c=0$, con $a≠0$. La fórmula dice que, las soluciones $x_1, x_2$ de la ecuación, están dadas como:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Entonces, de la ecuación $-5t^2+5t+10=0$, debemos identificar los valores de $a, b$ y $c.$

$a$ es el coeficiente del término cuadrático ($t^2$),

$b$ es el coeficiente del término lineal ($t$) y

$c$ es el término independiente.

Tenemos entonces que $a=-5,$ $b=5$ y $c=10.$ Sustituyamos en la fórmula y resolvemos.

$$t_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$=\frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4\left(-5\right)\left(10\right)}}{2\left(-5\right)}$$

$$=\frac{-5\pm \sqrt{25+200}}{-10}=\frac{-5\pm \sqrt{225}}{-10}$$

$$=\frac{-5\pm 15}{-10}$$

Así, tenemos dos valores: uno cuando $15$ es positivo y otro cuando $15$ es negativo:

$$t_1 = -1, \quad t_2 = 2$$

Fíjate que los subíndices sirven para identificar que son dos soluciones. Ahora hay que verificar que efectivamente estos valores satisfacen la ecuación que describe la trayectoria del clavadista. Para verificarlo, debemos sustituirlos en la ecuación.

Hemos encontrado las soluciones de la ecuación $f(t)=0$ pero como la $t$ representa tiempo, el resultado negativo no es válido como respuesta. Entonces podemos ignorarlo y saber que la solución es $t=2$. Esto significa que el clavadista, toca el agua en $t =2$ segundos.

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¿Qué tal si no tuviéramos la gráfica o si no está representada correctamente? La utilización de la fórmula general nos permitió obtenr la solución independientemente de la gráfica. Es la gran ventaja de los métodos algebraicos.

Autoevaluación

En nuestro alrededor podemos observar cualquier cantidad de formas parabólicas, mismas que pueden ser representadas por ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo: una fuente que se encuentra en la plaza de una ciudad.

Uno de los arcos pequeños que se observa en la fuente está definido por la ecuación cuadrática $$y = -x^2 - 8x$$

Imagina que colocamos un sistema de ejes coordenados con origen en la salida del chorro de agua. Queremos encontrar a qué distancia este chorro toca la superficie del agua que está en la fuente.

1. Sabiendo la ecuación y considerando este sistema coordenado como referencia, sabemos que debemos encontrar el valor en que la ecuación cuadrática es igual a $0,$ ya que el eje horizontal está colocado sobre la superficie del agua. Si $y=0$ entonces $-x^2-8x = 0$.

Escribe los valores $a, b$ y $c$ para utilizar la fórmula general.