Ecuaciones cuadráticas. Valores positivos y negativos.

Las antenas receptoras de las señales de radio y televisión, procedentes de los satélites de comunicación, tienen forma parabólica para así, concentrar las débiles señales que le llegan al foco (el foco, es el extremo de la línea que se encuentra en el vértice).

Si observamos la antena de perfil, tiene forma parabólica, y de hecho así se denomina. Pero también estarás de acuerdo que, si observamos la antena de frente, es decir, desde arriba, la antena tiene forma de circunferencia. Justamente fijándonos en esa circunferencia quisiéramos conocer el diámetro de la antena.

Podemos colocar la antena sobre un eje coordenado y establecer la ecuación cuadrática, para realizar operaciones. Colocamos la línea de la antena sobre el eje y, de manera que los extremos de la antena toquen el eje de la x. La expresión matemática que describe esta curva es:

Como lo que buscamos conocer es el diámetro de la antena parabólica, necesitamos identificar la distancia entre los puntos que tocan el eje x. Para lograrlo, tenemos que encontrar esos puntos y medir la distancia entre ellos. Por lo tanto, debemos encontrar para qué valores de la expresión anterior $y$ es igual a 0, es decir, $4x^2 - 3600=0$.

Una forma de saber la distancia entre ambos puntos es usar la fórmula general. Sin embargo, intentemos otro camino utilizando propiedades de los exponentes, que ya vimos anteriormente.

a) Si tenemos un término elevado a un exponente cualquiera, y además elevado a otro exponente, el resultado es el mismo término y su exponente corresponde a la multiplicación del exponente por el número al que se encuentra elevado:

Por ejemplo: $2\left[2\left(k\right)^3\right]^2= 2\left[2k^3\right]^2= 2\left[4k^{3\times 2}\right]= 2\left[4k^6\right]= 8k^6$.

b) Podemos representar la raíz cuadrada como un exponente igual a ½. $ \sqrt{14x} = \left(14x\right)^{1/2}$

Aplicando esta propiedad combinada con la propiedad anterior, resulta que: cuando lo que se encuentra dentro de la raíz cuadrada está elevado al cuadrado, entonces, el resultado debe ser el término que se encuentra dentro de la raíz, como se muestra a continuación:

La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado. Es decir, se llama raíz cuadrada de un número al número que puede descomponerse en el producto de dos números iguales. Por lo tanto, escribiremos $ \sqrt{100} = \frac{+}{-}10$ , para indicar que existen los 2 valores, que al ser multiplicados por sí mismos, dan por resultado 100, y que son 10 y -10.

Bien, ahora el procedimiento consiste en despejar el valor de $x$, utilizando las propiedades de inverso aditivo e inverso multiplicativo. Pero antes me gustaría preguntarte ¿alguna vez has escuchado decir, lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando? Justamente estas frases son el resultado de la aplicación del inverso aditivo; es una forma de recordarlo. Asimismo, surge la frase, lo que está multiplicando pasa dividiendo y lo que está dividiendo pasa multiplicando, haciendo referencia al inverso multiplicativo. Sólo debes tener cuidado al aplicar inverso multiplicativo, pues los signos no cambian.

Tenemos $4x^2 - 3600 = 0$. Cómo 3600 está restando lo pasaremos del otro lado sumando.

Entonces:

$4x^2 = 3600$. Ahora, como el 4 está multiplicando a la $x^2$ entonces lo pasaremos dividiendo del otro lado, es decir, después del igual. Realizamos las operaciones:

$x^2 = 3 600/4$

$x^2 = 900$

Bien, ahora sólo nos queda quitar el cuadrado de la $x$. De acuerdo a las propiedades de los exponentes, aplicamos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x^2} = \sqrt{900}$

$\left(x\right)^{2/2} = \sqrt{900}$

Como $\left(30\right)\left(30\right)= 900$ y $\left(-30\right)\left(-30\right)= 900$, entonces:

$x = \frac{+}{-} 30$

Ahora sólo resta expresar con subíndices para indicar cada uno.

$x_1 = 30$

$x_2 =-30$

Retomemos la pregunta inicial: ¿cuál es el diámetro de la antena parabólica? Nos referimos a la distancia entre los puntos que tocan al eje de las $x$ si consideramos la figura. Lo que hasta ahora hemos encontrado son los puntos donde la antena toca al eje de las $x$, de manera que el diámetro está dado por las unidades que hay entre esos dos puntos. Entonces, el diámetro de la parábola es de 60 cm.

Hay parábolas en la Torre Eiffel

Como el caso de las antenas parabólicas, hay una gran cantidad de objetos que pueden ser representados matemáticamente.

Seguro sabrás que existe una Torre que se llama Eiffel y que se encuentra en París, Francia. Esta tiene una altura de 320.75 metros, altísima, ¿no? Esta altura incluye la antena de transmisión de radio y televisión que se encuentra en la punta de la torre. Definitivamente es una torre impresionante.

La Torre Eiffel es una estructura de hierro que pesa 9 441 toneladas. Comenzó a construirse en 1887 y se terminó en 1889. Fue creada para una exposición que tendría lugar en París a principios del siglo XX. Dicha estructura fue elegida entre 700 propuestas y fue diseñada por el ingeniero francés Alejandro Gustavo Eiffel.

Si te fijas, en la base de la torre nos encontramos con formas parabólicas. En realidad, toda la estructura tiene formas geométricas, aunque hoy solamente nos ocuparemos de la forma parabólica.

Lo que nos interesa conocer es la longitud de un lado de la torre. Como lo hemos hecho anteriormente colocaremos un eje coordenado sobre la figura para ubicar los datos necesarios, además se sabe que la parábola formada en la base de la torre se define por la siguiente expresión: $y = -5x^2 + 11520$

Un dato que conocemos además de la expresión, es que la longitud de las bases de la torre es de 2.7 metros.

Fíjate en la figura: el eje $x$ se encuentra sobre la base de la torre y el eje $y$ está en la mitad de la base, de manera que la distancia del eje $y$ a la izquierda de la parábola, debe ser igual a la distancia a la derecha de la parábola. El eje sobre la imagen está inclinado para indicar que se encuentra sobre una cara de la torre, y por eso se coloca el otro eje para indicar la forma parabólica con la que vamos a trabajar.

Para resolver el problema debemos encontrar los puntos de la parábola que tocan el eje de las x.

Por lo tanto, debemos calcular cuando $y=0$, es decir, cuando $-5x^2 + 11520=0$

Utiliza el procedimiento que desarrollamos en el problema de la antena parabólica y escribe los valores de $x$. Recuerda que utilizamos los subíndices para indicar cada uno de los valores. Al resolver la ecuación cuadrática obtendrás dos valores, uno positivo y el otro negativo. Escribe en $x_1$ el valor positivo y en $x_2$ el resultado negativo.

Retomando la cuestión inicial, habíamos dicho que necesitábamos determinar la distancia entre los dos puntos donde tocaba la parábola al eje $x$.

De manera que si la distancia del eje $y$ hacia la derecha de la torre Eiffel es $48 m + 2.7 m$, o sea, 50.7 m, entonces la longitud de la base de la torre es 50.7 m por dos, ya que la distancia hacia la izquierda es la misma. Por lo tanto, la longitud total de un lado de la Torre Eiffel es de 101.4m.

Utilizar las Matemáticas para describir características de las cosas que nos rodean es fabuloso. ¿Te imaginas? Si para conocer la longitud de uno de los lados de la Torre Eiffel tuviéramos que ir hasta París, sería complicado, ya que Francia está un poco lejos, ¿no te parece?

En estos ejercicios hemos trabajado con algunas expresiones matemáticas que describen el comportamiento de ciertas cosas, como la antena, la torre, etc. ¿De casualidad no te preguntas cómo es que surgen estas expresiones o si es cierto que verdaderamente describen los fenómenos? En realidad, hay algunas cosas que son más fáciles de describir que otras, pero eso no significa que sea inmediato. Te mostraremos una forma de encontrar funciones cuadráticas a partir de una gráfica.

Observa la siguiente parábola que pasa por los puntos (-4 y 0) y (5 y 0). El hecho de que una parábola pase por el eje de las $x$, indica que para esos valores $y = 0$, por la posición de los ejes coordenados.

Sabemos que una parábola se representa con una ecuación cuadrática.

Si $y = ax^2 + bx + c$ representa una ecuación cuadrática y además $y = 0$, entonces:

Por otro lado, cuando estudiamos la multiplicación de polinomios encontramos un resultado como el siguiente:

(x + α )(x + β )= ax²+ bx + c, en donde a = 1, b era igual a la suma de α + β, y finalmente c era el resultado de multiplicar ab, ¿te acuerdas?

Ahora si ax² + bx + c = 0, entonces puedo decir que (x+ α)(x+ β ) = 0. Para que este resultado sea 0, entonces al menos uno de los paréntesis debe ser 0.

$\left(x + \alpha \right)\left(x + \beta \right) = 0$

$\left(x + \alpha \right) = 0$ ó $\left(x + \beta \right) = 0$

$x = -\alpha$ ó $x = -\beta$

Si $\alpha = 4, \beta = -5$ sustituyendo los valores tenemos que:

$x = -4$ ó $x = 5$

Ahora si $a=1$, $b=\alpha +\beta$ y $c= \alpha \beta$ como

$\alpha=4$

$\beta=-5$ entonces:

$b= 4+ \left(-5\right) = -1$

$c = \left(4\right)\left(-5\right) = -20$

Utilizando estos valores los sustituimos en la ecuación cuadrática y hemos terminado.

Como te podrás dar cuenta no es tan difícil, aunque sí es necesario tener en cuenta las características que deben cumplir las expresiones.

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