Cantidades enormes

Observa los números siguientes $10, \: 100, \: 1\,000, \: 10\,000, \: 100\,000, \: 100\,000\,000\,000\,000$ ¿Notaste que todos ellos pueden expresarse como potencias de $10$? es decir:

$10 = 10^1$

$100 = 10 \times 10 =10^2$

$1\,000 = 10 \times 10 \times 10 =10^3$

$10 \, 000 = 10 \times 10 \times 10 \times10 = 10^4$

$100 \, 000 = 10 \times 10 \times 10 \times10 \times 10 =10^5$

¿Qué relación existe entre el exponente de $10$ y el número de ceros en el número?. El exponente de $10$ coincide con el número de ceros en las potencias de diez.

Así, $100\,000\,000\,000\,000 = 10^{14}$ ¿Estás de acuerdo?

En la tabla siguiente, se representan diferentes cantidades asociadas a potencias de $10.$

Entonces, el número $500\,000\,000\,000\,000$ lo escribiremos como $5 \times 10^{14}$ A esta forma de escritura se le llama notación científica.

Características de la notación científica

Un número escrito en notación científica se expresa así: $$m \times \ 10^{n}$$

Al número $m$ se le llama mantisa y el exponente $n,$ que es un número natural -entero no negativo- es frecuentemente conocido como orden de magnitud.

Veamos algunos ejemplos

Observa en la siguiente tabla, números escritos en notación decimal y luego en notación científica.

Aquí hay algo importante que debes considerar: los números enteros están escritos en notación decimal y eso significa que después del último dígito -el de las unidades- hay un punto decimal que no se ve, porque nunca lo escribimos, pero ahí está.

Al pasar de notación decimal a notación científica, ¿cómo saber cuál es el exponente de la potencia de $10$? Observa que en los tres últimos ejemplos, el exponente no coincide con el número de ceros.

En la expresión en notación científica, antes del punto está la mantisa, que como vimos es un número menor que 10 y que, ya sea decimal o entero, tiene un punto decimal. El valor del exponente es el número de lugares que se desplazará el punto a la derecha, si se acaban los lugares completamos con ceros.

Revisa cuidadosamente los ejemplos de la tabla y encuentra la estrategia para representar grandes cantidades con notación científica.

¡Otro ejemplo más!

¿Sabes cuál es la distancia media entre la Tierra y el Sol? Ésta es cercana a $150\,000\,000\: km.$

Para expresar esa distancia en notación científica, necesitamos un número menor a $10.$ Como $15$ no lo es, tomamos $1.5$ ahora, al determinar el exponente de $10$ tenemos que contar cuántas posiciones se recorre el punto desde el último dígito -recuerda que no se ve pero ahí está- hasta llegar al $1$.

Entonces, la distancia media de la Tierra al Sol en notación científica es: $$1.5 \times 10^8 \: km$$

Observa más ejemplos:

¿Tuviste algún problema?, si es así repasa nuevamente como hay que recorrer el punto y cómo contamos los lugares para poder elegir el exponente correcto.

¿Sabes qué tan rápido viaja la luz? Se estima que un rayo de luz recorre $3\times 10^8$ m/s. ¿Cómo se expresa este número en notación decimal?

Veamos otro ejemplo. Si tenemos $5.2 \times 10^6,$ como el exponente es $6,$ hay que recorrer a la derecha seis lugares el punto decimal. Con un paso llegamos al $52$, observa que el punto se omite -pero ahí está- y luego ponemos cinco ceros, lo que completa las seis posiciones. El resultado es $5\,200\,000$ el exponente indica cuántas posiciones se movió el punto.

Revisa los siguientes ejemplos:

Multiplicación en notación científica

Revisemos la siguiente multiplicación, sabemos que $$400 \times 2000 = 800\,000.$$ Al hacer la operación, multiplicamos $4$ por $2$ y agregamos cinco ceros: los dos ceros de $400$ más los tres ceros de $2\,000.$

Ahora, expresemos $400$ y $2\,000$ en notación científica y procedamos: $$400 \times 2000 = (4\times 10^2) (2\times 10^3) = (4)(2) (10^2)(10^3)= 8\times 10^5$$

Observa que estás usando la propiedad conmutativa del producto y las leyes de los exponentes.

Veamos tres ejemplos más:

1. $(2.2 \times 10^5) (3.4 \times 10^4) = (2.2) (3.4) (10^{5 + 4}) = 7.48 \times 10^{9}$

2. $(1.2 \times 10^9) (7.5 \times 10^3) = (1.2) (7.5)(10^{9 + 3}) = 9 \times 10^{12}$

3. $(3.4 \times 10^3) (5.1 \times 10^3) = (3.4) (5.1)(10^{3 + 3}) = 17.34 \times 10^6 = 1.734 \times 10^7$

Como en el último ejemplo, $17.34$ no es menor que $10,$ ajustamos el resultado al recorrer el punto decimal una vez a la izquierda y para compensar sumamos uno al exponente.

Dividiendo en notación científica

Empecemos con un ejemplo muy sencillo. Calculemos $$\frac{60 \, 000}{200}$$ por aritmética elemental sabemos que el resultado es $300.$

Ahora observa qué ocurre si lo expresamos en notación científica:

$$\frac{60 \, 000}{200} = \frac{6 \times 10^4}{2 \times 10^2} = \frac{6}{2} \times \frac{10^4}{10^2} = 3 \times 10^{4-2}= 3 \times 10^2 = 300$$

Nuevamente se está recurriendo a las leyes de los exponentes, por eso cuando dividimos potencias de la misma base, los exponentes se restan.

Observa otro ejemplo:

$$\frac{2.6 \times 10^5}{1.3 \times 10^3} = \frac{2.6}{1.3} \times \frac{10^5}{10^3} = 2 \times 10^{5-3} = 2 \times 10^2$$

Comparando las masas del Sol y la Tierra

La masa del Sol se calcula en $1\,980\,000\,000\,000\,000\, 000\,000\,000\,000\,000\,kg,$ mientras que la de la Tierra en $6\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,kg.$

¿Cuántas veces es mayor la masa del Sol que la de la Tierra?

Para hacer esa comparación tenemos que dividir la masa del Sol entre la masa de la Tierra. En notación científica, la masa del Sol es $1.98 \times 10^{30}$, y la de la Tierra es $6 \times 10^{24}$. Comparando su masa tenemos:

$$\frac{ 1.98 \times 10^{30}}{6 \times 10^{24}} = \frac{1.98}{6} \times 10^{30-24} = 0.33 \times 10^6 = 330 \, 000 $$

O sea que la masa del Sol es $330\,000$ veces más grande que la masa de la Tierra.

Longitudes pequeñísimas

En la naturaleza, además de cantidades muy grandes, también están presentes números muy pequeños vinculados al tamaño de objetos microscópicos. Por ejemplo, tus ojos seguramente alcanzan a percibir un milímetro, en algunas agujas eso mide el ancho del orificio. Ahora imagínate dividir ese pequeño espacio en $1\,000$ partes, ese es el tamaño de un micrómetro, $\mu m$, la milésima parte de la milésima parte de un metro, es decir, la millonésima parte de un metro.

Esto lo expresamos en notación decimal como: $1 \, \mu m = 0.000\,001\,m.$ Para poder visualizar objetos de estas longitudes requerimos del microscopio óptico que muy probablemente utilizaste en secundaria. Otra medida es el nanómetro, $nm,$ esta es la milésima parte de un micrómetro ¿puedes imaginarlo? es la milésima parte de la milésima parte de la milésima parte de un metro, es decir, la milmillonésima parte de un metro.

Si lo escribimos en notación decimal quedaría: $1 \, nm = 0.000\,000\,001\,m.$ Con estas medidas el microscopio óptico ya no es suficiente, por lo que se utiliza el microscopio electrónico. Dividiendo entre $10$ un nanómetro llegamos a los angstroms. ¿Te imaginas esas pequeñas cantidades?

Para los números relacionados con dimensiones microscópicas también recurrimos a la notación científica.

¿Cómo utilizar las potencias de $10$ con estos números pequeñísimos? ¿Qué es lo que debemos modificar para expresar ahora que el punto decimal se encuentra a la izquierda de los números que queremos abreviar?

¡Usamos los exponentes negativos!

De la definición de exponente, sabemos que $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ siempre y cuando $a ≠ 0$ porque no se puede dividir entre cero. Así que tenemos:

$$0.1 = \frac{1}{10} = \frac{1}{10^1} = 10^{-1}$$

$$0.01 = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$$

$$0.001 = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$$ y así sucesivamente...

Con esto en mente, estamos listos para expresar números muy pequeños en notación científica.

En realidad el procedimiento es el mismo que antes, lo que debes tener presente son las leyes de los exponentes. Entonces, ya sabes también operar con números asociados con situaciones microscópicas, solo debes tener cuidado con los signos. Veamos algunos ejemplos:

$$(3.4 \times 10^{-5}) (1.3 \times 10^{-3}) = (3.4)(1.3) \times 10^{(-5+(-3))} = 4.42 \times 10^{-8} $$

$$(5.2 \times 10^{-4}) (1.3 \times 10^{-10}) = (5.2)(1.3) \times 10^{(-4+(-10))} = 6.76 \times 10^{-14} $$

$$\frac{7.1 \times 10^{-8}}{2.2 \times 10^{-5}} = \frac{7.1}{2.2} \times 10^{(-8-(-5))} = 3.22 \times 10^{-8+5} = 3.22 \times 10^{-3} $$

$$\frac{6.2 \times 10^{-6}}{3.1 \times 10^{-10}} = \frac{6.2}{3.1} \times 10^{(-6-(-10))} = 2 \times 10^{-6+10} = 2 \times 10^4$$

$$\frac{(4.1 \times 10^{-5})(2.3 \times 10^4)}{3.4 \times 10^{-6}} = \frac{(4.1)(2.3)}{3.4} \times \frac{10^{(-5+4)}}{ 10^{-6}} = \frac{9.43}{3.4} \times \frac{ 10^{-1} }{ 10^{-6} } =$$

$\hspace{2 cm}= 2.77 \times 10^{(-1-(-6))} = 2.77 \times 10^5$

Esperamos que este tema te haga reflexionar sobre las magnitudes muy grandes y muy pequeñas.

Autoevaluación

Para verificar tus aprendizajes realiza la siguiente actividad: elige el procedimiento y la respuesta correcta de acuerdo a la lista de opciones presentada después de la tabla.

Elige el procedimiento y la respuesta correcta, escribe el inciso en la casilla correcta.

a) $6.12 \times 10^{-4}$

b) $1.05 \times 10^6$

c) $8.2 \times 10^{-19}$

d) $3 \times 10^{-3}$

e) $4.8 \times 10^{-11}$

f) $\frac{8.4}{3.2 \times 2.5} \times 10^{8-(-4)-6}$

g) $\frac{6.3}{2.1} \times 10^{-8+5}$

h) $(4 \times 1.2) \times 10^{-11}$

i) $(1.5 \times 2.4 \times 1.7) \times 10^{6-7-3}$

j) $\frac{4.1 \times 3.2}{1.6} \times 10^{-3+(-9)-7}$