¿Qué son los exponentes fraccionarios?
Si bien el concepto de exponente surge inicialmente para simplificar la escritura de números muy grandes, pronto se tuvo la necesidad de extender ese concepto hacia los enteros negativos, el cero, y posteriormente, las fracciones.
Iniciemos recordando qué es un exponente cuando es un número entero. ¿Recuerdas la definición?
Definición de exponente entero
Si $a$ es un número diferente de cero, y $n$ esun entero positivo,
entonces:
- $a^n$ es el número que se obtiene al multiplicar $a$ por sí mismo $n$ veces
- $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ es decir, es el inverso multiplicativo de $a^n$
- $a^0 = 1$
Los exponentes se fraccionan
De algunas de tus clases de la secundaria seguramente recordarás las raíces cuadradas, que se escriben usando un radical.
Así, hablamos de "la raíz cuadrada de $a$ ", denotada como $\sqrt{a}$, para referirnos al número tal que al elevarse al cuadrado, da como resultado $a,$ es decir: $$(\sqrt{a})^2=a$$ donde $a \in \mathbb{R}, \: a ≥ 0.$
Esta no es la única manera de expresar una raíz cuadrada, también podemos hacerlo usando exponentes fraccionarios. Así, denotamos $$\sqrt{a}=a^\frac{1}{2}$$ La razón de este uso queda clara al aplicar las leyes de los exponentes: $$(\sqrt{a})^2=(a^\frac{1}{2})^2=a^{\left(\frac{1}{2}\right)(2)}=a^1=a$$
Mediante un argumento similar, es posible extender esta notación para todas las raíces, esto es para expresar $$\sqrt[n]{a} \:\: \text{ usaremos } \:\: a^{\frac{1}{n}}$$ Quizá esto sea un poco difícil pero practicando llegará a ser familiar para ti.
