¿Recuerdas qué es un factor?

Un número entero $a$ es factor de otro entero $b$, cuando al dividir $a$ entre $b$, la división es exacta, es decir el residuo es cero.

Por ejemplo, cuando dividimos $35$ entre $5$ el residuo es $0.$ Entonces, decimos que $5$ es factor de $35$ o, equivalentemente, que $5$ es divisor de $35$ o que $35$ es múltiplo de $5$ pues $35= 5 \times 7.$

Esto muestra que la división está ligada con la multiplicación. En este caso, concluimos que $5$ y $7$ son factores de $35$ y también sus divisores.

La divisibilidad estudia las condiciones que deben cumplir dos números enteros para que uno de ellos divida al otro de exactamente. Es decir, estudia cuando un número es factor de otro. Revisa la uapa "Divisibilidad", en ella podrás encontrar los criterios de divisibilidad que permiten distinguir, de una manera más rápida y eficiente,cuando un número es factor de otro.

Una de las mejores aplicaciones de los criterios de divisibilidad es la de ayudarnos a descomponer un número entero en producto de sus factores. Este proceso se conoce con el nombre de factorización o descomposición en factores.

Factorizar o descomponer un número -o una expresión algebraica-, significa expresarle como producto de sus factores. Esto puede realizarse gracias a la propiedad distributiva de los números reales: $$a(b+c)=(ab)+(ac)$$

Entonces, factorizar consiste en descomponer un número como producto de sus factores. Para esto, se analiza primero si el número es divisible entre $2,$ luego si es divisible entre $3,$ entre $4$ y así sucesivamente con cada número menor a él. Veamos cómo hacerlo, mediante un ejemplo.

Digamos que queremos descomponer el número $12$ como producto de sus factores. Dividimos entre $2$ y notamos que la división es exacta. Entonces $2$ es factor de $12$, en efecto, $$12=2 \times 6$$ ¿es divisible entre $3$? sí porque $$12=3 \times 4$$ con esta expresión vemos que además $4$ también es factor de $12.$

¿$5$ es factor de $12$? cuando dividimos $12$ entre $5$ el residuo es $2$ por lo que la división no es exacta, así que $5$ no es su factor. Cuando hicimos la división por $2$ comprobamos que $6$ es otro divisor de $12$, es decir también es su factor.

Sabemos que $1$ y $12$ son ambos factores de $12$, observa que esto es cierto para cualquier entero $a$, $\quad 1$ y $a$ son sus factores porque $a= 1 \times a.$

El número $7$ no es factor de $12$ pues al hacer la división el residuo es $5$; los números $8,9,10$ y $11$ tampoco son factores, haz las divisiones y obtendrás en todos los casos residuos distintos de $0$.

Tenemos entonces que el $12$ tiene seis factores -o divisores- ellos son: $1, 2, 3, 4, 6$ y $12.$ Usando el mismo procedimiento obtenemos también los factores de $6, 7$ y $13.$

Como habrás observado algunos números tienen más de dos divisores, otros solamente tienen dos y esos dos son precisamente él mismo número y el 1 -la unidad- entonces, tenemos que para un número natural distinto de uno, sólo puede haber dos posibilidades:

• que el número tenga más de dos divisores
• que el número tenga únicamente dos divisores: él mismo y la unidad

Cuando un número tiene más de dos divisores se llama compuesto y si tiene sólo dos divisores, se llama número primo.

Concluimos que los números naturales se dividen en:

Los números primos desempeñan un papel muy importante pues cualquier entero mayor que uno puede factorizarse como producto de números primos, o sea que los números primos son "las piezas" (o ladrillos) con las que pueden construirse el resto de los números. Es tan importante este hecho, que es conocido mundialmente como:

El Teorema Fundamental de la Aritmética

Por ejemplo, factorizar en factores primos el número $12$ significa descomponerlo en sus factores primos que son $2$ y $3$. En la tabla anterior aparecen todas las posibles factorizaciones de $12$, una de ellas es la descomposición en factores primos, en la que $2$ se repite dos veces por lo que se acostumbra escribir como potencia: $2^2 \times 3$.

Queremos que aprendas a factorizar un número en factores primos, veamos cómo hacerlo.

Factorización de un número natural en sus en factores primos

Factoricemos en primos el número $24$

Los criterios de divisibilidad también sirven para descomponer en factores primos los números naturales. Primero se analiza si el $24$ es divisible entre $2$ después si es divisible entre $3,$ luego entre $5$ y así sucesivamente con todos los primos menores que él. Recuerda que cuando decimos "divisible" significa división exacta: que el residuo sea cero.

De acuerdo a los criterios de divisibilidad, $24$ es divisible entre $2$ porque su última cifra es par, $24 \div 2 = 12$. Ahora se analiza si $12$ es divisible entre $2$, como su última cifra también es par, entonces $12$ es divisible entre $2$, en efecto, $12\div 2 = 6$, nuevamente observamos que $6$ es par, por lo que es divisible entre $2,$ $6\div 2 = 3.$ Como el $3$ es primo, sólo se puede dividir entre sí mismo y la unidad, así, $3 \div 3 =1$. Al llegar a $1$ hemos concluído la factorización.

Entonces, el $24$ queda expresado como producto de factores primos de la siguiente manera: $$24 = 2^3 \times 3$$

El siguiente esquema muestra el proceso que seguimos con más claridad:

Autoevaluación

Haz la descomposición en factores primos de $84$ y $56.$ Para expresar potencias usa el símbolo ^, por ejemplo, $5$ al cubo se escribirá como 5^3.