La función exponencial natural $f$ se define como:

$f(x) = e^x$

Cuando depositas dinero en un banco o solicitas un crédito, se usa interés compuesto, es decir, los intereses vuelven a causar intereses de manera que la cantidad, ya sea a favor o en contra tuya, crece exponencialmente.

Supongamos que haces una inversión a plazo fijo durante varios años y tu banco te da una tasa de interés anual,  del $8\%$  capitalizable anualmente.

Entonces, al término del año $n$, podemos calcular elcapital final por medio de la función  $P_f(n) = P_0(1 + 0.08)^n$, que es una función exponencial de base $1+0.08$. De esta manera, si inviertes, por ejemplo $\$10,000$ pesos y no los retiras, al final del primer y quinto año tendrías respectivamente:

$P_f(1) = 10,000(1+0.08)^1 = 10,000(1.08)^1 = 10,000(1.08) = \$10,800$

$P_f(5) = 10,000(1+0.08)^5 = 10,000(1.08)^5 = 10,000(1.469328) = \$14,693.2$

Sin embargo, aunque la tasa sea anual, hay esquemas de inversión en los que los intereses se reinvierten con mayor regularidad: cada 3 ó 6 meses o cada 30 días, incluso hay inversiones que reinvierten diariamente los intereses, aquí es donde aparece nuestro amigo el número $e.$

Sigamos con la misma tasa de interés anual del $8\%$ y supongamos de nuevo que tu inversión inicial fue de $\$10,000$. Ahora, fijémonos solamente en el primer año. Si los intereses de esa tasa anual te los capitalizara el banco (integrara a tu cuenta) dos veces al año, te correspondería un interés de $i = \frac{0.08}{2} = 0.04$ cada semestre. ¿Estás de acuerdo? ¿Tendrás, al final del primer año, los mismos $10,800 pesos que habías obtenido? Analicemos la situación:

Al final del primer semestre tienes: $P_f = 10,000 + 10,000 (0.04) = 10,000 (1 + 0.04) = \$10,400$

Al final del año tienes: $P_f = 10,400 + 10,400 (0.04) = 10,400 (1 + 0.04) = \$10,816$. Es decir, te corresponden $\$16$ pesos más.

Observa que otra manera de calcular el capital al final del año, cuando la tasa anual fue capitalizable semestralmente es: $P_f = 10,000(1.04)^2 = 10,000 (1.0816) = \$10,816$. Por lo que el exponente indica el número de veces al año en que se integrarán los intereses.

¿Qué sucede si la tasa anual del $8\%$ fuera capitalizable cada tres meses? Es decir, cada trimestre se incorpora a tu cuenta la cuarta parte del interés anual $i = \frac{0.08}{4} = 0.02$.

Como puedes observar, al capitalizarlo cuatro veces (cada tres meses) en ese primer año te deben dar $\$24.32$ pesos más que si lo capitalizan una vez al final del año.

¿Cuántos pesos más debe de darte el banco si el interés anual se capitaliza cada mes?, ¿cada día?, ¿cada hora?, ¿cada minuto?, ¿cada segundo?, ¿cada instante? Es decir, ¿cuántos pesos más te corresponden si el interés anual se capitaliza  continuamente?

Para responder a las preguntas anteriores, sin tener que hacer el cálculo periodo por periodo (si fuera mensual, habría que hacerlo $12$ veces; si fuera diario, $365$ veces), optemos por analizar la manera en que hemos obtenido la cantidad total al final del primer año, en los dos ejemplos previos. Recuerda que, en ellos, el dinero invertido se capitalizaba semestral y trimestralmente, y teníamos:

Semestralmente, dos periodos al año: $P_f = 10,000 (1+\frac{0.8}{2})^2$

Trimestralmente, cuatro periodos al año: $P_f = 10,000 (1+\frac{0.8}{4})^4$

Observa que son dos expresiones muy parecidas, solamente cambian dos cosas:

• la tasa de interés aplicable a cada periodo de tiempo en el que se capitalizarán las ganancias. Para obtenerla, dividimos la tasa anual entre el número de periodos considerados. Llamemos $p$ al número de periodos, entonces la tasa de cada periodo es: $i = \frac{0.08}{p}$

• El exponente al que hay que elevar es $p$, pues al haber $p$ periodos de capitalización al año, hacemos el producto $p$ veces. Así, el exponente coincide con el número de periodos al año.

Así, para este ejemplo, la expresión que describe el monto obtenido al final del año, cuando consideramos $p$ periodos para capitalizar los intereses es:

$P_f = 10,000 \left(1+\frac{0.8}{p}\right)^p$

¿Calculamos cuánto es el monto si la tasa anual del $8\%$ se capitaliza diariamente? ¿Cuántos días tiene el año? ¡Claro! $365$. Entonces, el número de periodos será $p = 365$. Si sustituimos en la expresión que obtuvimos:

¿Qué tanto dinero más corresponderá si se capitaliza cada hora? ahora tendríamos $p = (365)(24)$ y sustituyendo en la expresión:

$p = 365 \times 24 = 8760$

Entonces, el capital final será,

Observa que sólo se obtuvieron $80$ centavos más que cuando se capitalizaron los intereses diariamente. Por ello, si lo calculamos cada minuto o cada segundo o cada décima de segundo es probable que casi permanezca la misma cantidad.

Y, finalmente, ¿dónde está $e$? pues resulta que este número está implicado en la capitalización continua de intereses. Comparemos una conocida forma de aproximar el valor de $e$ mediante un límite, con la expresión que obtuvimos para calcular los intereses en $p$ periodos de tiempo.

Aproximación de $e:$ $$lim_{ n \rightarrow \infty}\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} = e$$ Por otro lado, el monto al final de un año, con una tasa de $8\%$ anual capitalizable en $p$ periodos al año, es $$P_f = 10,000 \left(1+\frac{0.8}{p}\right)^p$$

Si hacemos que $p$ crezca indefinidamente, los periodos se hacen cada vez más pequeños y podríamos hablar entonces de que los intereses se capitalizan continuamente. ¿Identificas las similitudes?

Con un pequeño artificio matemático -un cambio de variable- podemos reescribir la cantidad de dinero que tendrías al final de año si la tasa anual del $8\%=0.08$ se capitalizara continuamente, de la siguiente manera:

Como puedes ver, con una aproximación de $e$ a $12$ cifras decimales, tendrías $\$10, 832.87$ (más siete centésimas de centavos). El proceso para llegar a esta relación fue largo, pero de otro modo no se puede apreciar por qué cuando se capitaliza continuamente la tasa de interés anual se obtiene el número $e.$ Ahora que ya lo sabemos, los cálculos serán muy sencillos.

La siguiente expresión describe el monto de dinero que se tendrá, al finalizar el primer año, si se inicia con un capital de $P_0$ pesos y se invierten a una tasa de interés anual  $r$  capitalizable continuamente:

$P_f = P_0 e^r$

Por ejemplo, supongamos que la tasa anual  es del $9\%$ ($0.09$ en notación decimal) y que se invierten $\$10,000$, capitalizables continuamente. Al final del primer año se tendrán:

Con ayuda de la calculadora, fácilmente obtenemos $e^{0.09} = 1.094174284$, lo sustituimos y multiplicamos por $10,000$.

Ahora resulta sencillo calcular la cantidad final de dinero que se tendrá al término del primer año, para cualquier monto inicial y tasa de interés anual si se capitaliza continuamente.

Si ahora hacemos variar el número de años que el dinero permanecerá en el banco se tendría la función:

$P_f (t) = P_0 e^{rt}$

Donde $t$ indica el número de años. Este modelo, que tiene a $e$ como base, nos permite representar con mayor exactitud a los procesos de variación exponencial cuya tasa de crecimiento se toma en cuenta continuamente. Ya sea que se trate de dinero, de poblaciones, de un cuerpo que se enfría, de las sustancias radioactivas y de muchas situaciones más.

Lo único que necesitamos conocer, es la cantidad inicial, $P_0$, y la tasa de crecimiento (o decaimiento) anual, $r$.

Supongamos que el capital invertido inicialmente es de $\$5000$ y la tasa de interés anual capitalizable continuamente es del $8\%$. ¿Cuál es la función asociada a esta situación?, ¿a cuánto ascenderá el capital si se retira a los tres años y medio de haberlo metido al banco?

Usando la expresión que obtuvimos, tenemos que la condición inicial es $5000$ y la tasa de crecimiento $r$ es $0.08$. Entonces, la función que modela la capitalización continua de intereses será $f(t) = 5000 e^{0.08t}$

Para contestar la segunda pregunta evaluamos la función en $t=3.5$ para obtener:

Autoevaluación

Es momento de repasar lo aprendido.