Gráficas de funciones cuadráticas
En matemáticas el término gráfica se usa para varios objetos. En esta ocasión nos referimos a la gráfica de una función real, $f(x)$.
La gráfica nos permite visualizar de manera simple el comportamiento de una función.
En Física por ejemplo, en el estudio de la mecánica clásica acostumbramos describir visualmente el movimiento de los objetos, estableciendo relaciones funcionales entre las siguientes cantidades: el tiempo que toma un objeto en moverse de un punto a otro, la distancia que recorre y la rapidez con que lo hace.
La gráfica de una función real, $f(x),$ se obtiene al colocar en el plano cartesiano todos los puntos $(x,f(x))$, es decir, aquellos en los que $f(x)=y.$ Para estas funciones -cuyo dominio y codominio son los números reales- los puntos en el eje de las abscisas representan los elementos de su dominio y en el eje de las ordenadas se encuentran los valores posibles de sus imágenes.
Observa las siguientes gráficas. Todas ellas corresponden a funciones cuadráticas y como ves sus gráficas son parábolas.
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Ecuaciones cuadráticas
Si $f(x)$ es una función cuadrática, entonces $$f(x)=0$$ es una ecuación de segundo grado. Observando la gráfica de la función podemos saber cuántas soluciones tiene la ecuación pues las raíces o soluciones, son los valores de $x$ en los que la gráfica cruza el eje de las abscisas.
Si la gráfica no cruza el eje entonces la ecuación no tiene raíces reales -es decir, no hay elementos del conjunto de los números reales que cumplan la ecuación-, si lo cruza dos veces entonces la ecuación tiene dos raíces reales y si solamente toca al eje en una ocasión, entonces decimos que tiene una raíz real doble.
Por ejemplo, si $f(x)=x^2$, entonces la ecuación $f(x)=0$ será $x^2=0$ que se cumple solamente si $x=0$. Entonces, para esta ecuación, $x=0$ es una raíz doble y su gráfica solamente toca al eje de las abscisas una vez: en el punto $(0,0).$
