Introducción a la interpretación del área bajo las curvas en las gráficas

Una herramienta poderosa que nos ofrecen las matemáticas son las gráficas, estas se utilizan para ilustrar conjuntos de datos y son de gran utilidad porque facilitan la comprensión de la información..

Existen representaciones de situaciones que involucran características de movimientos clásicos de la Física, por ejemplo, el Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA) de los cuales contamos con una gráfica de comportamiento velocidad vs. Tiempo ($v$ vs $t$), o bien aceleración vs. Tiempo ($a$ vs $t$).

Y si únicamente necesitamos comparar entre sí las distancias recorridas de los móviles o bien sus velocidades instantáneas, entonces es muy útil observar las áreas bajo la curva de sus respectivas gráficas. Vemos que el área bajo las curvas en las gráficas puede proporcionarnos información como la distancia recorrida, la velocidad promedio y la velocidad que tienen los móviles en un instante dado de su recorrido.

Velocidad vs. tiempo

Es importante que sepas que las gráficas $v$ vs. $t$ para el MUA muestran líneas rectas, observa los siguientes ejemplos: Las gráficas $v$ vs. $t$ en el MUA nos indican que la velocidad varía uniformemente. Por ello, para ciertos cálculos, podemos obtener una velocidad promedio a partir de las velocidades inicial y final de todo el recorrido:

Las gráficas v vs. t en el MUA nos indican que la velocidad varía uniformemente. Por ello, para ciertos cálculos, podemos obtener una velocidad promedio a partir de las velocidades inicial y final de todo el recorrido:

$velocidad_{promedio} = v_p = \frac{v_f + v_0}{2}$

También podemos calcular gráficamente la velocidad promedio obteniendo el punto medio de la recta que representa el recorrido completo.

Por otra parte, podemos obtener la distancia recorrida con la ayuda de alguna de las siguientes fórmulas:

$d = (\frac{v_f + v_0}{2})(t)$

$ d = d_0 + v_0t + \frac{at^2}{2} $

Pero... ¿podremos obtener la distancia recorrida de manera gráfica?

En un MUA podemos conocer la distancia recorrida por el móvil si en una gráfica $v$ vs $t$. A este proceso se le conoce como obtener el área bajo “la curva”. Lo anterior es válido y puede hacerse gracias a que dicha área está conformada básicamente por el producto de dos variables: la velocidad y el tiempo. Este producto nos conduce a hallar la distancia recorrida.

Podemos corroborar lo anterior al fijarnos en las unidades de las variables involucradas:

$(\frac{m}{s})(s) = m$

Comenzaremos con un caso sencillo y después agregaremos las variantes posibles. Veamos el ejemplo de un auto cuando se sale de vacaciones. El auto se desplaza con MUA de acuerdo a su tabla de datos.

Por ahora, vamos a interesarnos en el movimiento del auto en el lapso de los primeros tres segundos. Si observamos la gráfica comprendida entre t = 0 s y t = 3 s, tendremos que el área bajo la curva será el triángulo equilátero debajo de la recta diagonal.

Sabemos que el área de este triángulo está dada por:

$Área \, del \, triángulo = (\frac{base \, \times \, altura}{2}) = (\frac{ (3s)(12\frac{m}{s}) }{ 2 }) = (\frac{36m}{2}) = 18m$

Esto significa que la distancia recorrida por el auto en los primeros tres segundos es de 18 m.

Queremos que observes cuidadosamente la fórmula para obtener el área del triángulo que acabamos de usar y la compares con una de las fórmulas que tenemos para el MUA. Determina cuáles son las coincidencias entre ellas:

$ d = (\frac{v_f + v_0}{2})(t) $

Corroboremos las coincidencias

Recordemos una fórmula para obtener la distancia recorrida por un móvil para el MUA:

$ d = (\frac{v_f + v_0}{2})(t) $

y ahora la del área del triángulo:

$(\frac{base \, \times \, altura}{2}) = (\frac{(tiempo)(velocidad)}{2}) = ( (tiempo) (\frac{(velocidad)}{2}) )$

$ (tiempo)(velocidad \, promedio) = distancia \, recorrida $

Las coincidencias que hay entre ellas son:

• Con ambas fórmulas obtenemos una distancia recorrida.
• Las dos contienen el valor promedio de la velocidad. Una la calcula como el promedio aritmético de dos cantidades, y la otra, como el punto medio de una recta.
• Las unidades del producto resultan ser consistentes con las unidades de medición de distancia.

A partir de la siguiente gráfica obtengamos más información.

Por ejemplo, si queremos conocer cuántos metros recorrió el automóvil en el lapso de tiempo entre t = 1 s y t = 3 s, basta con calcular el área bajo la curva entre esos tiempos de la gráfica

En este caso el área que debe obtenerse es la del trapezoide (sombreado), el cual dividimos en un triángulo más un rectángulo, de manera que el área total es:

Área de un trapezoide = área del triángulo + área del rectángulo

Veamos las ecuaciones y corroboremos el resultado.

Para un móvil en el MUA, tenemos que para determinar la distancia recorrida, una de las ecuaciones está dada por:

al sustituir por los valores que se presentan en el ejemplo, tenemos que:

con lo que podemos comprobar que el auto efectivamente recorrió 16 m entre t = 1s y t = 3s.

Veamos ahora el siguiente ejercicio: La figura muestra la distancia recorrida por el auto de Vicky en los primeros 3 segundos. ¿Qué distancia recorre el auto entre t = 2s y t = 3s?, para responder esta pregunta, primero ubiquemos la información. Lo que deseamos saber es el área del rectángulo rosa y el triángulo café.

Para obtener este valor, recordemos la fórmula del área del triángulo

$Área \, del \, rectángulo = base \, \times \, altura = (3-2) \times (8-0) = 1 \times 8 = 8$

Ahora nos falta el área del triángulo:

$Área \, del \, triangulo = \frac{base \, \times \, altura}{2} = \frac{ (3-2) \times (12-8) }{2} = \frac{1\times 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Por lo que sumando ambas áreas se tiene: 8+2=10, como se puede ver en la tabla.

Te pedimos que verifiques cada una de las áreas que se muestran en el cuadro siguiente, usa la figura y realiza las operaciones en tu cuaderno. Al finalizar comprueba que los resultados sean los mismos.

Ahora, observa que en los primeros cuatro renglones (donde los lapsos de tiempo son iguales) cómo va incrementándose, con cada segundo que transcurre, la distancia que recorre el auto.

Variantes en la gráfica $v$ vs. $t$ Una de las variantes que se presentan para la gráfica $v$ vs. $t$ en el MUA es que el automóvil tenga una velocidad inicial, es decir, que al momento $t = 0 \:s$

La resolución a este tipo de movimiento se hace de manera similar al ejemplo anterior, ya que en caso de emplear la ecuación $ d = (\frac{v_f + v_0}{2})(t) $, solamente se deben sustituir los valores de las velocidades inicial y final.

Pero en el caso de emplear el área bajo la curva, debe tenerse cuidado de que el área considerada sea como la que se muestra en la gráfica siguiente:

La otra variante es que el automóvil se vaya frenando. Nuevamente, la ecuación no presenta modificación alguna, pero en la gráfica sí hay un cambio.

Ahora debemos calcular el área bajo la curva que se encuentra sombreada entre los tiempos deseados (por ejemplo t1 y t2):

Tal vez te preguntes, ¿qué ocurre si me interesa conocer la distancia recorrida entre t3 y t4?

Si nos interesa hallar el valor de la distancia recorrida, calculando el área “bajo la curva”, entre los tiempos t3 y t4 de la siguiente gráfica:

Debemos obtener el valor del área sombreada. En este caso, el área del triángulo será:

$ área \, del \, triángulo = \frac{(t4 - t3)(-v4-0)}{2} = distancia \, recorrida $

Si obtienes el área de dicho triángulo, vas a encontrar un área con signo negativo. La interpretación a este signo es que se trata de una distancia recorrida en sentido contrario a la distancia que había recorrido entre los tiempos t =0 s, y t = 3s.

De modo que si nos interesa conocer la distancia a la que se encuentra un móvil al tiempo t= 4 s y cuya gráfica de movimiento es:

debemos calcular las áreas A1 y A2 y después restarlas:

De manera que la distancia a la que se encuentra el móvil al tiempo t = 4s estará dada por A1 – A2.

Lo anterior se interpreta como que el móvil se alejaba entre los tiempos t1 y t3, pero después de t3 empezó a acercarse. Ello provocó que se acortara la distancia entre sus posiciones inicial y final.

Continuemos ahora con la gráfica aceleración vs. tiempo.

Ahora veremos que sucede algo parecido con las gráficas $a$ vs. $t$ para el MUA. Una característica del MUA es que la aceleración es constante (que no cambia). Por ello, en su gráfica $a$ vs.$t$ se muestran líneas rectas paralelas al eje horizontal como se muestra a continuación:

Observa que en esta gráfica el área bajo la curva es un rectángulo, cuya área se conforma del producto de la aceleración (m/s²) por el tiempo (s), por lo que las unidades serán (m/s), es decir, el área representa una velocidad.

Dado que en el MUA la aceleración es constante, entonces la velocidad cambia uniformemente. Por ello podemos emplear otra de las fórmulas para el movimiento acelerado, y realizando el despeje correspondiente podemos encontrar el valor de la velocidad en determinado instante (velocidad instantánea). De este modo, partimos de:

$ a = \frac{v_f - v_0}{t} $

y si la velocidad inicial es cero, entonces la fórmula anterior se reduce a:

$ a = \frac{v_f}{t} $

de donde, al despejar $v_f$ , obtenemos que:

$ v_f = at $

Si recordamos el ejemplo del auto, cuya velocidad inicial es 0 m/s y cuya aceleración es de 4 m/s², podemos, mediante la ecuación anterior, averiguar cuál es la velocidad del auto en cualquier momento:

Al tiempo t = 2 s, la velocidad del auto es $ v_f = at = (4\frac{m}{s^2})(2s) = 8\frac{m}{s} $.

Es decir, que entre los tiempos t = 0 s y t = 2 s, la velocidad del automóvil se ha incrementado en 8 m/s.

Pero, como ya hemos visto anteriormente, también podemos averiguar el valor de algunas variables mediante el cálculo del área bajo la curva.

Para nuestro ejemplo del auto, la gráfica a vs. t se ve como sigue:

Podemos corroborar el incremento de la velocidad al tiempo t = 2 s, tenemos que calcular el área bajo la curva (rosa), y como nos interesa hallar el valor de la velocidad en el momento en que t = 2 s, calculamos el área del rectángulo sombreado.

Como sabemos, el área del rectángulo está dada por:

$ área \, del \, rectángulo = (largo)(ancho) = (2s)(4\frac{m}{s^2}) = 8\frac{m}{s} $

lo cual confirma lo que habíamos obtenido. Veamos la siguiente tabla en donde se registra el incremento de la velocidad.

Observa cómo se va incrementando la velocidad en 4 m/s por cada segundo que transcurre.

La aceleración negativa

Para el caso en el que la aceleración es negativa (frenado del móvil), tenemos que la gráfica se ve como una línea recta paralela y debajo del eje horizontal:

Como lo hicimos antes, para calcular el cambio que ha sufrido la velocidad entre dos tiempos (por ejemplo entre t=2 s y t=4 s), debemos calcular el área del rectángulo que se encuentra en ese rango.

Y el área de ese rectángulo está dado por:

$ área \, del \, rectángulo = (largo)(ancho) = (4s - 2s)(-3\frac{m}{s^2}) = (2s)(-3\frac{m}{s^2}) = 6\frac{m}{s} $

lo cual significa que entre los tiempos t = 2 s y t = 4 s, la magnitud de la velocidad ha sufrido una disminución de 6 m/s.

Autoevaluación

Esperamos lo revisado te haya sido satisfactorio y hayas aprendido la importancia de interpretar las áreas por debajo de la curva.

Para verificar tu aprendizaje, te invitamos a resolver la siguiente actividad. Realiza tu actividad en un procesador de textos o en tu cuaderno y después verifica tus respuestas con el archivo que se encuentra abajo.

Un avión viaja en línea recta, a una velocidad constante de 50 m/s, se te pide:

1) Construir una tabla que muestre la velocidad del avión en cada segundo hasta llegar a los 10 s

2) Construye la gráfica de velocidad vs tiempo (usa un graficador u hoja de cálculo)

3) Usando la gráfica, obtén las distancias que se piden

4) Realiza la gráfica de la aceleración para cada uno de los segundos desde 1s y hasta 10s (usa un graficador u hoja de cálculo)

Descarga el archivo aquí class