Factores y divisores

Un número entero $a$ es factor de otro entero $b$, cuando al dividir $a$ entre $b$, la división es exacta, es decir el residuo es cero.

Por ejemplo, si dividimos $63$ entre $7$, el residuo es $0.$ Entonces, decimos que $7$ es factor de $63$ o, equivalentemente, que $7$ es divisor de $63$ o que $63$ es múltiplo de $7$ pues $63=7 \times 9.$

Esto muestra que la división está ligada con la multiplicación. Para este ejemplo, concluimos que $7$ y $9$ son factores -o divisores- de $63$ y que $63$ es múltiplo de $7$ y de $9.$

La divisibilidad estudia las condiciones que deben cumplir dos números enteros para que uno de ellos divida al otro exactamente. En otras palabras, estudia cuándo un número es factor de otro. Revisa las uapas "Divisibilidad" y "Factorización".

Una de las mejores aplicaciones de los criterios de divisibilidad es la de ayudarnos a descomponer un número entero en producto de sus factores. Este proceso se conoce con el nombre de factorización o descomposición en factores.

Factorizar o descomponer un número -o una expresión algebraica-, significa expresarle como producto de sus factores. Este proceso puede realizarse gracias a la propiedad distributiva de los números reales: $$a(b+c)=(ab)+(ac)$$

Así, factorizar consiste, en descomponer un número como producto de sus factores. Para esto, se analiza primero si el número es divisible entre $2,$ luego si es divisible entre $3,$ entre $4$ y así sucesivamente con cada número menor a él. Veamos cómo hacerlo, mediante un ejemplo.

Digamos que queremos descomponer el número $12$ como producto de sus factores. Dividimos entre $2$ y notamos que la división es exacta. Entonces $2$ es factor de $12$, en efecto, $$12=2 \times 6$$ ¿es divisible entre $3$? sí porque $$12=3 \times 4$$ con esta expresión vemos que además $4$ también es factor de $12.$

¿$5$ es su factor? cuando dividimos $12$ entre $5$ el residuo es $2$ por lo que la división no es exacta, así que $5$ no es su factor. Cuando hicimos la división por $2$ comprobamos que $6$ es otro factor de $12$.

Sabemos que $1$ y $12$ son ambos factores de $12$, observa que esto es cierto para cualquier entero $a$, $\quad 1$ y $a$ son sus factores porque $a= 1 \times a.$

El número $7$ no es factor de $12$ pues al hacer la división el residuo es $5.$ Observa que $8,9,10$ y $11$ tampoco son factores,haz las divisiones y obtedrás en todos los casos residuos distintos de $0$.

Tenemos entonces que el $12$ tiene seis factores -o divisores- ellos son: $1, 2, 3, 4, 6$ y $12.$

Algunos números tienen más de dos divisores, otros solamente tienen dos y esos dos son precisamente él mismo número y el $1$ -la unidad- entonces, tenemos que para un número natural distinto de uno, sólo puede haber dos posibilidades:

• que el número tenga más de dos divisores
• que el número tenga únicamente dos divisores: él mismo y la unidad

Cuando un número tiene más de dos divisores se llama compuesto y si tiene sólo dos divisores, se llama número primo.

Los números primos desempeñan un papel muy importante pues cualquier entero mayor que uno puede factorizarse como producto de números primos, o sea que los números primos son "las piezas" (o ladrillos) con las que pueden construirse el resto de los números. Es tan importante este hecho, que es conocido mundialmente como:

El Teorema Fundamental de la Aritmética

Entonces, factorizar -o descomponer- en factores primos el número $12$ significa expresarlo como producto de sus factores primos que son $2$ y $3$. Esta descomposición sería $$12=2 \times 2 \times 3$$

como $2$ se repite dos veces se acostumbra escribir como potencia: $$12= 2^2 \times 3$$

Máximo Común Divisor (MCD)

En una tienda de telas el encargado desea evitar pérdidas de dinero por los retazos que van sobrando de los cortes que venden. En la tienda hay retazos de de 240 cm, 168 cm y 48 cm de largo. Todos tienen el mismo ancho.

Entonces, él desea dividirlos en trozos del mismo largo y de modo que no se desperdicie tela para venderlos como trapos de usos múltiples ¿cuál será la medida que debe considerar para cortarlos?

Observa el enunciado del problema, se pide hallar un número que divida de manera exacta a los tres números dados, para garantizar que no haya desperdicio de tela. Entonces, este número será factor de los tres números, es decir un factor o divisor común. Puede haber varios divisores comunes, observa por ejemplo que como los tres son números pares entonces $2$ es divisor común, pero también $3$ es divisor común (compruébalo usando los criterios de divisibilidad). La intención es que los trozos de tela sean lo más largo posible.

Estamos buscando el máximo común divisor (MCD) -llamado también máximo factor común (MFC)- de los números $240, 168$ y $48$.

Para encontrar el MCD, necesitamos encontrar la descomposición en factores primos. Es como la descomposición que hicimos al inicio, pero ahora consideramos únicamente divisores primos.

Así, vemos que $240$ queda expresado como producto de factores primos: $$240 = 2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 5= 2^4 \times 3 \times 5$$

El $168$ queda: $$168= 2\times 2\times 2\times 3 \times 7= 2^3 \times 3 \times 7$$

Finalmente, el $48$ queda: $$48 = 2\times 2\times 2\times 2\times 3= 2^4 \times 3$$

Ahora, encontremos los factores comunes. Los escribimos juntos para que nos sea más fácil visualizarlos:

$$240 = 2^4 \times 3 \times 5$$

$$168 = 2^3 \times 3 \times 7$$

$$48 = 2^4 \times 3$$

Observa que los factores primos comunes a los tres números son $2$ y $3$, pues $5$ y $7$ no son divisores de los tres. Más aún, es posible distinguir que los tres tienen como divisor común a $2^3=8$ por lo que el máximo común divisor es $2^3 \times 3 = 8 \times 3=24$.

Entonces la respuesta al problema planteado es que los retazos deben dividirse en trozos de $24\: cm$ de largo para que no sobre tela.

¿Cuántos trozos saldrían de cada retazo?

Del retazo de $240\: cm$ salen exactamente $10$ pedazos de $24\: cm$ de largo, del retazo de $168\: cm$ salen exactamente $7$ pedazos y del retazo de $48\: cm$ salen exactamente $2$ pedazos.

Mínimo común múltiplo (mcm)

Las mariposas son insectos que pueden viajar grandes distancias. Ciertas familias de mariposas que habitan la selva chiapaneca, visitan durante primavera y verano las cercanías del cenote Chukumaltilk. Se conocen al menos tres especies que lo visitan y se acercan a sus cristalinas aguas. Las tres habitan en el mismo sitio.

La primera de las familias de mariposas tarda, desde su lugar de origen, $6$ días en ir y regresar, la segunda tarda $8$ días y la tercera $10$ días. Hace $45$ días las tres especies convivían juntas en su lugar de origen y comenzaron las visitas al cenote al mismo tiempo, ¿cuántos días faltan para que vuelvan a coincidir las tres en su lugar de origen?

Observa lo que se pide, hay que saber cada cuándo las tres especies están juntas en su lugar de origen en la selva. Por facilidad, daremos nombres a las tres especies, llamemos:

$A$ a la especie que tarda $6$ días en ir y volver

$B$ a la que tarda $8$ días en ir y volver y

$C$ a la que tarda $10$ días en ir y volver

La especie $A$ da una vuelta completa en seis días, dos vueltas en $12$ días, tres vueltas en $18$ y cuatro vueltas completas en $24.$ Para ese momento, -$24$ días- la especie $B$ habrá dado tres vueltas completas por lo que las familias $A$ y $B$ coincidirán en su hábitat. La familia $C$ tendrá $4$ días de haber partido de ahí. Necesitamos entonces, encontrar un número que sea múltiplo de las tres cantidades, es decir, un múltiplo común de $6, 8$ y $10$ pero además que sea el más pequeño de todos los múltiplos comunes. Así sabremos cada cuánto tiempo coinciden las tres familias en su lugar de origen.

Necesitamos obtener el mínimo común múltiplo (mcm) de $6, 8$ y $10.$

La forma más sencilla de obtener el mcm de una colección de números es encontrando primero su descomposición en factores primos. Esto has aprendido a hacerlo usando el Teorema fundamental de la aritmética cuando obtuvimos el MCD.

Obteniendo esta descomposición para los números del problema, tendremos que: $$6= 2 \times 3$$ $$8=2^3$$ $$10=2 \times 5$$

Los primos presentes en las descomposiciones son $2, 3$ y $5$. Hay que obtener el producto de los tres con el exponente más alto al que aparezcan en las descomposiciones. Para este ejemplo: $$2^3 \times 3 \times 5=120$$

O sea que las tres familias de mariposas coinciden cada $120$ días en su lugar de origen. Si partieron juntas hace $45$ días, significa que dentro de $120-45=75$ días volverán a coincidir.

Observa que, en efecto, $120$ es múltiplo de cada uno de los números del problema: $$120=6 \times 20$$ $$120=8 \times 15$$ $$120=10 \times 12$$

en el contexto del problema, esto significa que las tres familias de mariposas coinciden cuando las de $A$ han dado $20$ vueltas, las de $B$ han dado $15$ vueltas y $12$ vueltas las de la familia $C.$

Considera otro ejemplo: dados los números $45, 36$ y $50$, encuentra el mínimo común múltiplo de los tres.

La factorización como producto de primos de estos números es: $$45= 3^2 \times 5$$ $$36=2^2 \times 3^2$$ $$50=2 \times 5^2$$

Entonces, los primos que aparecen en las factorizaciones son $2,3$ y $5$, elegimospara cada uno el exponente más alto con el que aparecen, en este caso elegimos $2^2, 3^2$ y $5^2.$ Obtenemos el producto de estos tres: $$2^2 \times 3^2 \times 5^2 = 900$$

Observa que el mínimo común múltiplo (mcm) de una colección de números, será divisible por cada uno de ellos. Siempre es posible encontrar múltiplos comunes a todos los números pues al menos hay uno: el producto de todos los números de la colección dada.

Autoevaluación

Determina el MCD y el mcm de los números $84$ y $56,$ obteniendo primero su factorizacion en primos. Para expresar potencias usa el símbolo ^, por ejemplo, 5 al cubo se escribiría como 5^3: