Una de las maravillas de la naturaleza radica en que su comportamiento está apegado al consumo mínimo de energía en sus procesos, lo que conlleva un ahorro de energía, que para la humanidad ha sido un tema de preocupación en las últimas décadas. Por ello, en la medida que entendamos el funcionamiento de la naturaleza, podremos obtener mayor provecho de ella y preservarla.

A través del tiempo, el ser humano ha obtenido grandes logros al comprender el funcionamiento del movimiento de un electrón acelerado por una fuerza dentro de un campo magnético (en la construcción de televisores), el desplazamiento a velocidad constante de un móvil que no recibe fuerza alguna (naves espaciales) o bien la trayectoria de un proyectil sujeto a una fuerza constante (satélites artificiales). De este modo, vemos que el conocimiento a detalle de los fenómenos que involucran el movimiento resulta importante. Una manera de modelar el movimiento es a través de una ecuación cuadrática.

Sin embargo, en la solución de una ecuación cuadrática, algunas veces nos encontramos con resultados que aparentemente no tienen correspondencia con la realidad. A continuación revisaremos algunos de estos casos.

Interpretación de los valores encontrados

Vamos a trabajar un ejemplo en donde se combina el caso del tiro vertical y la caída libre, para lo cual te proponemos la siguiente situación:

Te encuentras en un edificio, asomándote por la ventana del segundo piso (a 6 m del suelo) y observas a un joven que lanza un manojo de llaves a otra persona que está en la ventana del piso de arriba (a 9 m del suelo). En su primer intento, las llaves solamente llegan a una altura de 8 m, por lo que la persona de arriba no puede alcanzar el manojo.

Para darnos una mejor idea de la situación, veamos el siguiente esquema:

Con únicamente estos datos, ¿es posible encontrar los valores para los tiempos empleados y las velocidades del manojo de llaves en su trayectoria?

Primero, vamos a situar nuestros ejes de coordenadas, y para simplificar nuestro análisis colocamos el origen en donde estamos situados, por lo que el origen estará a la altura del segundo piso.

De esta manera, nuestro conteo del tiempo y la distancia recorrida empezarán en t = 0 s; d = 0 m (t=tiempo, d=distancia) cuando el manojo de llaves pase por nuestro origen. Vamos a considerar al eje vertical (de las y´s) para los datos de la distancia recorrida, y el eje horizontal (de las x´s) para el tiempo. Así, a partir de la ventana del segundo piso hacia arriba se consideran positiva la distancia recorrida, y hacia abajo, se considera negativa.

Algunas de las preguntas que se pueden formular respecto al movimiento del manojo de llaves son: ¿qué velocidad tiene el manojo cuando pasa por la ventana del segundo piso? ¿Qué tiempo demorará el manojo en subir hasta la altura de 8 m?, ¿cuánto tiempo demorará en llegar al suelo? y ¿con qué velocidad inicial debe lanzarse el manojo para que llegue a 9 m?

Para resolver estas preguntas, debemos tener en cuenta los valores que conocemos de algunas variables:

La aceleración a la cual está sujeto el manojo durante toda su trayectoria es precisamente la aceleración de la gravedad a = -9.8 $\frac{m}{s^2}$. El otro valor conocido es el de la velocidad en el punto de máxima altura, que es vf = 0 m/s.

Algo más que debemos tomar en cuenta son las fórmulas para el movimiento uniformemente acelerado:

$d=(\frac{v_f+v_o}{2})(t)$

$a=\frac{v_f+v_o}{t}$

$2ad=v_f^2-v_0^2$

$d=d_0+v_0t+\frac{at^2}{2}$

Ahora veamos el procedimiento para resolver estas cuestiones.

Para averiguar qué velocidad tiene el manojo cuando pasa por la ventana del segundo piso, debemos considerar que nuestro origen de coordenadas está a la altura de 6m. Entonces la pregunta se puede cambiar a la siguiente:

¿Qué velocidad tiene el manojo de llaves a 0m (ventana del segundo piso) si 2m más arriba (altura máxima alcanzada) tiene velocidad 0$\frac{m}{s}$?

De la pregunta, podemos ver que están involucradas las siguientes variables:

a = -9.8$\frac{m}{s^2}$ (siempre apuntando hacia abajo)

$v_f$ = 0m/s (velocidad que tendrá a la altura de 8m)

$v_0$ = ?

d = 2m (son los metros que faltan para llegar a 8m)

Así, debemos seleccionar de entre las cuatro fórmulas que tenemos para el MUA, la que contenga exactamente esas cuatro variables.

a) $d=(\frac{v_f+v_0}{2})(t)$

b) $a=\frac{v_f+v_0}{t}$

c) $2ad=v_f^2-v_0^2$

d) $d=d_0+v_0 t+\frac{at^2}{2}$

Si observamos detenidamente, la ecuación que debe usarse es la del inciso (c), debido a que la fórmula $2ad=v_f^2-v_0^2$, es la única que contiene exactamente las dos velocidades (final e inicial), la distancia recorrida y la aceleración.

Ahora veamos cómo resolvemos esta ecuación cuadrática.

Ya que sabemos que la ecuación que debemos usar es: $2ad=v_f^2-v_0^2$

Ahora, debemos despejar la variable que nos interesa, que en este caso es el valor de la velocidad inicial. Recuerda que nuestro origen está a la altura de la ventana del segundo piso:

Despejando la velocidad inicial (v0) de la ecuación anterior, obtenemos que $v_0=\sqrt{v_f^2-2ad}$, y al sustituir por sus valores tenemos que:

$v_0=$

$\sqrt{(0 \frac{m}{s})^2-2(-9.8\frac{m}{s^2} )(2m) }$ = $\sqrt{0 \frac{m^2}{s^2} +39.2 \frac{m^2}{s^2} }$ =$\sqrt{39.2 \frac{m^2}{s^2} }$=$±6.261 \frac{m}{s}$

Observa que la solución de la raíz cuadrada arroja dos resultados: $(+6.261 \frac{m}{s})$ y $(- 6.261 \frac{m}{s})$. ¿Sabes lo qué significan estos dos resultados?

El resultado con el signo positivo (+6.261 $\frac{m}{s}$) nos indica la velocidad que tiene el manojo de llaves cuando va en ascenso y pasa por la ventana del segundo piso. Por supuesto, el resultado con el signo negativo (-6.261 $\frac{m}{s}$) nos indica la velocidad que tiene el manojo cuando pasa nuevamente a la altura de la ventana en su descenso. Esto es que: ¡LA SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN CUADRÁTICA PUEDE DARNOS A CONOCER LAS DOS POSIBLES VELOCIDADES QUE PUEDE TENER EL MÓVIL EN UN PUNTO!

Ahora investiguemos el tiempo que demora en llegar a los 8 m.

Para resolver la pregunta del tiempo que demora en llegar a los 8 m después de que pasó por la ventana del segundo piso, primeramente debemos considerar que nuestro origen está a la altura de la ventana del segundo piso (a 6 m del suelo), por lo que tendremos los valores de las siguientes variables:

a = -9.8 $\frac{m}{s^²}$ (siempre apuntando hacia abajo)

$v_0$ = 6.261$\frac{m}{s}$

t = ?

d = 2 m (son los metros que faltan para llegar a 8 m).

Así, debemos seleccionar de entre las cuatro fórmulas que tenemos para el MUA, la que contenga exactamente esas cuatro variables.

a) d=$(\frac{v_f+v_0}{2})(t)$

b) $ a=\frac{v_f+v_0}{t}$

c) $ 2ad=v_f^2-v_0^2$

d) $d=d_0+v_0 t+\frac{at^2}{2}$

De las ecuaciones que se tienen, la que debe usarse es la del inciso (d), debido a que la fórmula $d=d_0+v_0 t+\frac{at^2}{2}$ es la única que contiene exactamente la velocidad (inicial), la distancia recorrida, el tiempo y la aceleración.

Ahora veamos cómo obtenemos el tiempo.

La ecuación que debemos usar es: $d=d_0+v_0 t+\frac{at^2}{2}$ donde d0 es la distancia que ya ha recorrido el móvil (en este caso el manojo de llaves) al tiempo t = 0 s, y como hemos colocado nuestro origen precisamente a la altura de 6 m sobre el piso, entonces d0= 0 m, con lo que la ecuación anterior se reduce a: $d=v_0 t+\frac{at^2}{2}$

Al sustituir las variables por sus valores, tenemos que:

$d=v_0 t+\frac{at^2}{2}⇒2m$

$=(6.261m)t+\frac{(-9.8 m/s^2 )(t^2 )}{2}$

por el momento, nos olvidaremos de las unidades y no las escribiremos para no confundirlas con las letras que representan a las variables, de modo que la ecuación se reduce a: $2=6.261t-4.9t^2$ o lo que es lo mismo $4.9t^2-6.261t+2=0$ que es la forma canónica de la ecuación de segundo grado y, como debes recordar, podemos resolver por varios métodos. En esta ocasión vamos a emplear la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado: $t=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ y al sustituir con los valores de los correspondientes coeficientes, tenemos que: $t=\frac{6.261±\sqrt{(-6.261)^2-4(4.9)(2) }}{2(4.9)}$ =$\frac{6.261±\sqrt{39.2-39.2}}{2(4.9)}$ =$\frac{6.261±√0}{2(4.9)}$ t=$\frac{6.261±0}{2(4.9)}$=$\frac{6.261}{9.8}$ =$0.638877$

Esto significa que 0.638877 segundos después de pasar por la ventana del segundo piso, el manojo de llaves llegará a la altura de 8 m.

Ahora busquemos la respuesta a ¿en cuánto tiempo llegará al suelo?

Para resolver la pregunta del tiempo que tardará para llegar al suelo después de que pasó por la ventana del segundo piso, debemos considerar que nuestro conteo del tiempo comienza cuando el manojo de llaves pasa por la ventana del segundo piso con velocidad de +6.21 $\frac{m}{s}$, por lo que tendremos los valores de las siguientes variables:

$a = \frac{-9.8m}{s^²}$ (siempre apuntando hacia abajo).

$v_0$ = 6.261$\frac{m}{s}$ (el subíndice 0 significa que es la velocidad del manojo cuando el reloj marca 0s).

t = ?

$d_0$ = 6m (el subíndice 0 significa que es la distancia que ya ha recorrido el manojo cuando el reloj marca 0s).

Asimismo, debemos seleccionar de entre las cuatro fórmulas que tenemos para el Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA), la que contenga exactamente esas cinco variables.

Selecciona la fórmula adecuada:

a) d=$(\frac{v_f+v_0}{2})(t)$

b) $ a=\frac{v_f+v_0}{t}$

c) $ 2ad=v_f^2-v_0^2$

d) $d=d_0+v_0 t+\frac{at^2}{2}$

La respuesta correcta es D debido a que la fórmula $d=d_0+v_0 t+\frac{at^2}{2}$ es la única que contiene exactamente la velocidad (inicial), las distancias recorridas (d y $d_0$), el tiempo y la aceleración, donde $d_0$ es la distancia que ya ha recorrido el móvil (en este caso el manojo de llaves) al tiempo t = 0 s, y como hemos colocado nuestra marca de 0 m en el piso, entonces d0= 6 m. Sustituyendo las variables por sus valores, tenemos que: $d=d_0+v_0t+\frac{at^2}{2}$⟹$2m=8m+(6.261m)t$+$\frac{(-9.8 m/s^2 )(t^2 )}{2}$

Pero por el momento nos olvidamos de las unidades y no las escribimos para que no se confundan con las letras que representan a las variables, de modo que la ecuación se reduce a: $0=6+6.261t-4.9t^2$

O lo que es lo mismo $4.9t^2-6.261t-6=0$ que es la forma canónica de la ecuación de segundo grado, y, como antes, vamos a emplear la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado: $t=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ Al sustituir con los valores de los correspondientes coeficientes, tenemos que: $t=\frac{6.261±\sqrt{(-6.261)^2-4(4.9)(-6) }}{2(4.9)}$ =$\frac{6.261±\sqrt{39.2+117.6)}}{2(4.9)} $=$\frac{6.261±\sqrt{156.8}}{2(4.9)} $ t=$\frac{6.261±12.52198}{2(4.9)} $ lo que implica que hay dos soluciones:

t_1=$\frac{6.261+12.52198}{2(4.9)}$

$=\frac{18.78298}{9.8}=1.91663$

$t_2=\frac{6.261-12.52198}{2(4.9)}$

$=\frac{-6.261}{9.8}=-0.638877$

La primera solución significa que 1.91663 s después de pasar por la ventana del segundo piso, el manojo de llaves estará a nivel de piso.

La segunda solución (la del tiempo negativo) significa que 0.638877 segundos antes de pasar por la ventana del segundo piso, el manojo de llaves estaba a nivel de piso, es decir, podemos considerar al tiempo negativo como el pasado.

Finalmente investigaremos ¿con qué velocidad inicial debe lanzarse el manojo para que llegue a 9 m?

Con qué velocidad inicial debe lanzarse

Nuestra última pregunta es ¿con qué velocidad inicial debe lanzarse el manojo para que llegue a la altura de 9 m? Para responderla, es conveniente hacer un cambio de posición del origen de coordenadas, debido a que la pregunta se refiere al valor de una variable en el momento en que el manojo de llaves esté a nivel de suelo. Por ello, nuestro esquema queda así:

Entonces, para responder a la pregunta ¿con qué velocidad inicial debe lanzarse el manojo para que llegue a la altura de 9 m?, debemos considerar que tenemos los valores en las siguientes variables:

a = $-9.8 \frac{m}{s^²}$ (siempre apuntando hacia abajo)

vf = 0 $\frac{m}{s}$ (a la altura de 9 m)

$v_0$= ?

d = 9 m (es la altura que se quiere alcance el manojo)

Nota: ahora consideramos la distancia recorrida de 9 m, ya que tomamos el nivel de piso como nuestro origen y sabemos que a la altura de 9 m su velocidad será de 0 $\frac{m}{s}$.

Como se hizo antes, debemos usar la ecuación: $2ad=v_f^2-v_0^2$

Al despejar la velocidad inicial (v0) obtenemos que: $v_0=\sqrt{v_f^2-2ad}$

=$\sqrt{(0 \frac{m}{s})^2-2(-9.8 \frac{m}{s^2} )(9m) }$

=$\sqrt{(0 \frac{m}{s})^2+176.4 \frac{m^2}{s^2} }$

=$\sqrt{176.4 \frac{m^2}{s^2} }$=$±13.28 \frac{m}{s}$

Observa que la solución de la raíz cuadrada nuevamente arroja dos resultados: (+13.28 $\frac{m}{s}$) y (- 13.28 $\frac{m}{s}$). Al igual que antes, estos dos resultados significan que las velocidades que tiene el manojo cuando está a 0 m (a nivel del suelo)- esto es que la velocidad con la que debe ser lanzado- es de +13.28 $\frac{m}{s}$, y la velocidad con la que el manojo regresará al suelo es de –13.28 $\frac{m}{s}$.

Autoevaluación

Esperamos que las interpretaciones de los resultados hayan sido claras. Para verificar tus aprendizajes te pedimos resuelvas la siguiente actividad.

Un domingo cualquiera has decidido ir al parque con tu familia, te subes a un árbol para observar mejor el parque, unos chicos se encuentran jugando a lanzarse la pelota. Tú te encuentras a 3 m del suelo y el chico al cual le lanzan la pelota se encuentra a 7 m del nivel del piso. Al lanzar la pelota en un primer intento, esta sólo llega a los 5 m. Con base en esta información, te pedimos respondas las siguientes preguntas:

1. ¿Qué velocidad tiene la pelota cuando pasa por donde te encuentras?
2. ¿Qué tiempo demorará el manojo en subir hasta la altura de 7 m?,
3. ¿Con qué velocidad inicial debe lanzarse la pelota para que llegue a los 7 m?

Para darte una mejor idea te proporcionamos el siguiente esquema:

Realiza tu actividad en un procesador de textos o en tu cuaderno.

Verifica resultados de acuerdo a la siguiente retroalimentación.class