Ubicación de los números enteros en la recta real

La recta de los números reales o recta numérica, es un modelo gráfico que nos permite visualizar cómo deben colocarse los números reales y en particular los enteros, sin importar que se refieran a temperaturas, años transcurridos, longitudes sobre o bajo el nivel del mar, ganancias o pérdidas, etc.; por lo que se utiliza en diversas disciplinas de estudio. Muchos científicos la consideran la señal de máxima evolución del hombre, por las posibilidades de representación y de predicción que permite.

La recta numérica consiste en una línea recta en la que:

• Indicamos que hay un orden, de izquierda a derecha, al insertar la punta de una flecha en el extremo derecho.
• Elegimos un punto en ella para colocar el cero.
• Elegimos el tamaño del segmento que representará la unidad, y a partir de éste señalamos marcas equidistantes, tanto a la derecha como a la izquierda del cero.
• Los números positivos van a la derecha del cero, mientras que los negativos, a la izquierda.
• Consideramos que a la derecha de cualquier número están los que son mayores que él, mientras que a la izquierda los que son menores.

Con estos cinco aspectos en mente, nuestra recta numérica tiene la configuración siguiente:

El orden en los enteros

Como te habrás podido dar cuenta, la ubicación de los enteros en la recta numérica o recta real nos ayuda a visualizar la forma en que están ordenados. Recuerda que de manera gráfica se estipula que el orden ascendente va de izquierda a derecha.

Así, de forma casi inmediata, podemos saber que cualquier número positivo es mayor que cero y que cualquier número negativo es menor que cero. Sin embargo, también es útil contar con otra forma de describir este hecho. En símbolos lo representamos como sigue:

Si $a$ y $b$ fueran longitudes asociadas al relieve de nuestro planeta, y asignáramos valores relacionados con este accidente geográfico (como el nivel del mar representa al cero del relieve) podremos convenir que:

• Cualquier lugar cuya altitud sea mayor que el nivel del mar, tiene una altitud $a$ positiva, es decir, $a > 0$.
• A cualquier sitio por debajo del nivel del mar, el número que le asignaremos, $b$, es negativo $b < 0$.

Comparación de números cuando ninguno de los dos es cero

Primer caso. Comparación de dos enteros positivos distintos.

¿Quién es más joven, tú o tu papá?

En el caso de los enteros positivos (los naturales), su orden ya lo estudiaste y prácticamente desde pequeños sabemos distinguir cuándo un entero positivo es menor que otro (tu edad o la de tu papá). En Matemáticas, este hecho se formaliza de la siguiente manera:

Es claro que, si tú eres menor que tu papá, él es mayor que tú. En el recuadro siguiente se describe el caso análogo:

Segundo caso. Comparación de dos enteros negativos.

¿Cómo comparamos dos enteros negativos distintos?

Aunque no es tan evidente como con los positivos, también podemos llegar a una idea sencilla que sea posible simbolizar. Apoyémonos primero en la parte visual.

Observa cómo están colocados en la recta numérica. Toma dos enteros negativos distintos y reflexiona un par de minutos cuál de ellos es menor y cómo podríamos expresarlo de manera general. También te puede ayudar pensar en temperaturas bajo cero, en fechas antes de Cristo, o en alguna otra situación que te ayude a darle significado a los números negativos.

El menor es el más lejano

Probablemente pensaste en frases como las siguientes:

"Un número negativo es menor que otro si está a su izquierda" o bien, "cuando tengo dos números negativos distintos, el menor es el que está más alejado del cero".

Ambas son correctas. La primera, la estipulamos para ubicar los números en la recta real; la segunda, nos habla de "lejanía" respecto al cero. No obstante, en las dos seguimos dependiendo de la recta numérica.

Exploremos la idea de "lejanía" de la segunda frase, que involucra el concepto de distancia en la recta numérica. Seguramente encontraremos formas alternativas (que podamos representar con símbolos) para determinar cuándo un número negativo es menor que otro.

Los números simétricos

Observa de nuevo la recta numérica. Sitúate en el cero y contesta para ti mismo en cada caso:

a) ¿Cuántos pasos hay del 0 al 7 y cuántos del 0 al - 7?

b) ¿Cuántos pasos hay del 0 al 3 y cuántos del 0 al - 3?

c) ¿Cuántos pasos hay del 0 al 5 y cuántos del 0 al - 5?

d) ¿Qué observas en general para cada una de estas parejas de números?

Podemos pensar el número de "pasos" que hay desde el cero a cualquier número entero, como su distancia al origen (el cero).

Con esta aclaración, lo que seguramente observaste en la pregunta del inciso d) es algo como lo siguiente:

Cada una de esas parejas de números, por ejemplo 7 y - 7, tienen la misma distancia al origen, pero en direcciones opuestas (derecha o izquierda).

Por esa razón, se dice que 7 y - 7 son inversos aditivos uno del otro.

Eso sucede con cualquier otra pareja de números cuya única diferencia sea el signo. Podemos escribirlo de manera general como sigue:

Generalizando lo que observaste:

Cualquier número entero $n$ está a igual distancia del cero que su inverso aditivo $-n$

Cabe resaltar que:

• Si es positivo $n$, su inverso aditivo es negativo $-n$
• Si es negativo $-n$, su inverso aditivo $n$ es positivo

Valor absoluto de un número

Una forma de calcular la distancia de un número entero al cero u origen de la recta real, sin tener que calcular el número de "pasos", consiste en obtener su valor absoluto, es decir, asignar el valor que representa ese número sin importarnos en qué dirección está.

El valor absoluto de un número a se representa como $| a |$ y nos indica la distancia que hay del número a al cero.

Así, el valor absoluto de $3$ es $3$ y el valor absoluto de $- 3$ es también $3$, ya que ambos se encuentran a tres "pasos" del cero. En símbolos tenemos:

Para otros números, se tiene una situación análoga.

Por ejemplo: $\vert 1 000 \vert$ = 1 000   y   $\vert -1 000 \vert$ = 1 000 ¡ya no tenemos que contar 1 000 sobre la recta numérica!

El valor absoluto para saber cuál es mayor.

Con el valor absoluto podemos además reescribir la segunda frase que se tenía para comparar dos números enteros distintos de la siguiente manera:

Frase original: "Cuando tengo dos enteros negativos distintos, el menor es el que está más alejado del cero".

Frase reformulada: "Cuando tengo dos enteros negativos distintos, el menor es aquél cuya distancia al cero es mayor".

Esta última idea la podemos simbolizar de la siguiente manera:

Seguramente te preguntarás para qué escribir con símbolos una idea que es tan clara. Gran parte del poder de aplicación de la Matemática radica precisamente en la posibilidad de utilizar símbolos para representar diversas situaciones. Es como aprender un nuevo idioma, uno muy preciso que te permitirá expresar ideas y resultados de forma más sencilla.

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