¿Qué son los números naturales?

El ser humano ha tenido la necesidad de contar desde tiempos inmemoriales. Esto hace que surja la necesidad de inventar una herramienta que permitiera representar cantidades: el número. Los números naturales nacen así, para cubrir esta necesidad.

Estas palabras han causado polémica respecto a qué persona las pronunció. Algunos autores señalan que fueron dichas por el matemático alemán Leopold Kronecker (1823-1891), y otros afirman que son del matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932). Sin importar quién las haya dicho, resultan significativas al mostrar que los números naturales.

Y decimos que los números naturales son los que “surgen de manera evidente en la naturaleza” porque son los que sirven para contar.

Entonces, ¿qué números formarán el conjunto de los naturales? Más fácil, ¿cuál será el primer número natural con que el ser humano se topó?

Antes de contestar esta pregunta es importante tener claro que las Matemáticas son como un juego: para poder trabajar con ellas, de la misma manera que en cualquier juego, necesitamos conocer las reglas, para saber qué se puede o no hacer, y así jugar bien.

Diderot afirmaba que "se podía establecer una semejanza entre el matemático y un jugador, ya que, en el fondo, ambos jugaban según unas reglas, las reglas abstractas que ellos mismos habían creado".

Adición de números naturales

Si nos ponemos a pensar qué hacemos cuando queremos saber cuántos dulces hay en dos bolsitas, hacemos algo que parece complejo, aunque sabemos que sumar es muy sencillo. Esta operación toma dos números de la misma naturaleza y obtiene otro llamado suma o resultado. Intuitivamente, la adición es el proceso de juntar dos colecciones de objetos, obtener una sola colección y contar cuántos objetos hay en la colección obtenida llamada suma. Los números de la misma naturaleza que se suman se llaman sumandos. Ejemplo:

Cerradura de la adición

Debes tener presente que el conjunto de números naturales es un conjunto cerrado para la operación de adición, porque si a un número natural le sumamos otro número natural el resultado también es un número natural. Entonces, si el conjunto de números naturales cumple con la propiedad de cerradura para la adición, significa que son suficientes los elementos que forman este conjunto para realizar cualquier operación de adición, y en consecuencia es posible dar el resultado con un elemento del mismo conjunto, o sea, con otro número que también sea natural.

Para que esta propiedad quede más clara, imagínate que tenemos un conjunto formado solamente por dos elementos, el número 1 y el número 2, te preguntamos: ¿este conjunto cumple con la propiedad de cerradura para la adición?, es decir, si quiero sumar estos dos números, $1+2 = 3$ ¿el resultado lo puedo dar con un elemento del mismo conjunto? La respuesta es no, porque el resultado de esta suma es 3, y 3 no forma parte de este conjunto. En conclusión, este conjunto que sólo tiene dos elementos (el 1 y el 2), no es un conjunto cerrado para la operación de adición. Como el conjunto de los números naturales sí es un conjunto cerrado para la adición, me permite afirmar que, si tengo un natural y le sumo otro de la misma naturaleza, el resultado dará también un número natural.

Retomando la pregunta ¿qué números forman el conjunto de los naturales? Respondemos: sólo sabemos que el 1 es natural, aunque gracias a la propiedad de cerradura para la operación de adición podemos obtener el resto de los naturales de la manera siguiente. El uno es natural, si lo sumamos a sí mismo obtenemos el 2, por la propiedad de cerradura, el 2 es natural y repetimos este procedimiento como sigue:

Fíjate, $n$ representa cualquier número. Podría ser 138, 722, 914, 5 678, 89 437, o cualquier otro natural que se te ocurra.

Concluimos, entonces, que el conjunto de números naturales está formado así: Naturales: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,...$n$, $n+1$, $n+2$…, hasta el infinito.

Estos son los números naturales.

Autoevaluación

A continuación, indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones en relación a algunas características de los números naturales: