Operaciones con polinomios

Un monomio es un término conformado por un valor constante llamado coeficiente (por ejemplo, -4, valor que puede ser negativo o positivo) y está multiplicado por una variable $t$, es decir, una letra que puede tener diferentes valores.

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B@UNAM

Operaciones con polinomios

Una persona se encuentra en un edificio de 24 metros de altura. La persona lanza hacia arriba y hacia delante una piedra a una velocidad de 20 metros por segundo. La piedra sigue una trayectoria como la que se muestra en la figura:

La trayectoria de la piedra se describe con la siguiente expresión:

 

$trayectoria= -4t^2+20t+24$

Parece algo complicado ¿verdad? En realidad, no lo es tanto: la expresión matemática es un elemento que describe el movimiento de la piedra desde que se lanza hasta caer al suelo. La trayectoria de la piedra tiene la forma de una parábola. Esta forma es la base para crear la expresión matemática. Pero no te preocupes, disfrutarás haciendo estos problemas cuando conozcas algunas cosas más de Matemáticas.

Te presentamos este ejemplo para que hablemos de los componentes de la expresión matemática. Analizaremos el primer término de la expresión $\left(-4t^2\right)$ y veremos cada uno de los elementos.

Un monomio es un término conformado por un valor constante llamado coeficiente (por ejemplo, -4, valor que puede ser negativo o positivo) y está multiplicado por una variable $t$, es decir, una letra que puede tener diferentes valores; y esta variable puede ser multiplicada por sí misma varias veces, dependiendo del grado del exponente que en este caso es un valor entero positivo (por ejemplo,el 2).

Antes de continuar, recuerda que, el símbolo paréntesis () y dos variables juntas representan multiplicación. Por ejemplo, $20t = 20\left(t\right)$. Las dos formas son correctas, y se interpreta como la multiplicación de 20 por $t$.

También podemos escribir el monomio $-4t^2$, como $-4tt$. Es decir, el coeficiente por la variable, multiplicada por sí misma dos veces. Ahora, representamos la expresión que describe la trayectoria de la piedra.

$trayectoria=-4t^2+20t+24$

De la expresión inicial, veamos los siguientes dos términos; éstos son más sencillos. Para el segundo término el coeficiente es 20, la variable es $t$, y el grado es 1 (nota que, aunque no haya número como exponente, se entiende que el exponente es 1 y no hay necesidad de escribirlo).

El tercer y último término tiene coeficiente igual a 24. La variable es $t$, pero no se visualiza porque el exponente es 0. Cuando una variable distinta de cero tiene exponente 0 es igual a 1. Es como si escribiéramos $24\left(1\right)=24$ o $24$x$\left(t^0\right)=24$.

Entonces cualquier variable (distinta de cero) elevada a la 0 tiene como resultado 1. Usa tu calculadora científica para verificar este resultado. En lugar de usar una variable, escribiremos un número: ¿qué tal 35? Para escribir el exponente, busca la tecla ^ o la tecla $x^y$, después de pulsar la tecla del exponente, escribe 0. El resultado debe ser 1. Si quieres prueba con cualquier otro número distinto de cero.

Bien, ya que observamos cada uno de los términos por separado, ahora pensemos en el conjunto de los términos, es decir, toda la expresión matemática. A esta expresión la llamaremos polinomio, o sea, un conjunto de dos o más monomios relacionados por medio de operaciones aritméticas (suma o resta).

Los polinomios se clasifican de acuerdo a su grado. El grado de un polinomio se obtiene encontrando el mayor exponente de los términos que lo componen. Para el caso de nuestra expresión, vemos que el mayor exponente es 2. Por lo tanto, el grado del polinomio es 2.

$trayectoria=-4t^2+20t+24$ (polinomio de grado 2)

Dejemos la expresión anterior que describía una trayectoria parabólica y veamos otro tipo de polinomio.

$P = 3a^3\times b^5 + 4a^2\times b^2 – 5a\times b$ ¿Grado del polinomio?

Como te podrás dar cuenta, hay dos variables ($a$ y $b$) en cada término de la expresión. Ahora, ¿cómo sabremos el grado del polinomio? Sólo necesitas sumar los exponentes de las variables para encontrarlo. Pero hay que analizar cada uno de los términos del polinomio, para determinar cuál es el mayor exponente.

En $3a^3\times b^5$, sumamos 3 + 5. El grado de este monomio es 8.

En $4a^2\times b^2$, sumamos 2 + 2. El grado de este monomio es 4.

En $5a\times b$, sumamos 1 + 1. El grado de este monomio es 2.

Como el grado lo da el término de mayor exponente sumado, el grado del polinomio es 8.

¡Muy bien! Te estás volviendo un experto para encontrar el grado de un polinomio, por eso te pido que me ayudes a orientar a Elena.

Elena compró una casa nueva, pero antes de cambiarse quiere pintar la fachada. El problema es que no tiene las medidas de la fachada, pero sí tiene algunos datos. La casa tiene forma de un cuadrado, 3 ventanas iguales y una puerta. Además, sabe que las ventanas son cuadradas y que la puerta tiene forma de rectángulo. El ancho de la puerta es igual al ancho de las ventanas y la altura es dos veces el ancho de la puerta. Veamos la forma de la casa.

Ahora utilizaremos los conocimientos de áreas de cuadrados y rectángulos para determinar el área de la fachada de la casa. Con esta información Elena tendrá idea de la cantidad de pintura que necesita comprar.

Empecemos con el área de la fachada de la casa. Como es un cuadrado, su área es igual a lado por lado, y como cada lado mide $y$, entonces el área de la fachada es $y \left(y\right)= y^2$. Por otro lado, las ventanas son iguales, y además tienen forma de cuadrados, así que el área de cada una de las ventanas es $x\left(x\right) = x^2$. Por último el área de la puerta, que es un rectángulo, y que se calcula multiplicando base por altura, es $x\left(2x\right) = 2x^2$.

¿Te diste cuenta que al multiplicar dos variables iguales se sumaron los exponentes? Esta es una propiedad de los exponentes. Debes tener cuidado, porque esto sólo aplica cuando las variables son iguales. El resultado de la multiplicación debe ser la misma variable y su exponente será la suma de los exponentes de las variables, como sucedió al multiplicar $x\left(x\right) = x^2$: el exponente de la $x$ es 1 en los dos casos 1+1=2. Entonces el exponente de la $x$ resultante es 2.

El área de la fachada debe ser el área del cuadrado con lado $y$, pero como las ventanas y la puerta no se pintan debemos restar esas partes para obtener el área total de la fachada. Esto lo podemos representar con un polinomio.

$Área \, de \, la \, fachada = y^2-x^2- x^2- x^2-2x^2$.

Esto es, el área del cuadrado de la casa, menos el área de la primera ventana, menos el área de la segunda ventana, menos el área de la tercera ventana, menos el área de la puerta. Fíjate que hay términos iguales, por ejemplo, las 3 ventanas; además la puerta tiene dimensiones parecidas a las ventanas. Eso significa que podemos simplificar nuestra expresión.

Observa que los coeficientes de las $x^2$ son negativos, lo que significa que estamos sumando números negativos. Por esa razón, al simplificar el polinomio, el coeficiente resultante también será negativo.

$Área \, de \, la \, fachada = y2-5x^2$

Hablando de simplificación del polinomio, podrás darte cuenta que sólo hicimos operaciones con los coeficientes, o sea que sumamos los coeficientes de las $x^2$, pero, la variable $x^2$ quedó exactamente igual. Esta es otra propiedad de las operaciones con polinomios. Podemos sumar o restar términos de un polinomio, siempre y cuando los términos tengan las mismas variables y los mismos exponentes. Las variables y los exponentes no se modifican; es decir, se escriben igual.

Ahora sí, es más sencilla la expresión. Ahora Elena sólo tendrá que realizar dos mediciones. Una es la del ancho de la casa, representado con $y$, la otra el ancho de una ventana, representado con $x$. Bueno, dijimos el ancho, pero también podría ser la altura, en realidad eso no importa, porque sabemos que un cuadrado tiene lados iguales.

¿Qué te parece? Podemos solucionar un problema que parecía muy grande, encontrando sólo 2 valores. ¡Qué maravilla! ¿No crees? Es una de las ventajas de utilizar variables al resolver problemas.

Por último, dime cuál es el grado del polinomio que encontramos para calcular el área de la fachada de la casa de Elena:

Respuesta:

done Evaluar

 

Paquetes de dulces

Una maestra de primaria está preparando paquetes de dulces para regalarles a sus alumnos el día del niño. Ella tiene 45 alumnos y en cada paquete de dulces colocará 2 paletas, 5 chicles y 3 tamarindos. Pero se pregunta cuántos dulces debe comprar en total. Ella cree que debe contar 2 paletas 45 veces, más 5 chicles 45 veces, más 3 tamarindos 45 veces. Tiene razón, pero, ¿te imaginas contar tantísimas veces 45? Podemos ayudarle escribiendo una expresión que use la propiedad distributiva.

¿Te acuerdas de ella? Es la que dice:

$a\left(b+c+d\right) = ab + ac + ad$

Veamos si es cierta esta igualdad, utilizando los datos de los dulces de la maestra. Digamos que $a$ es el número de alumnos, $b$ el número de paletas en un paquete de dulces, $c$ el número de chicles en un paquete de dulces, y $d$, el número de tamarindos. Por lo tanto $a=45$, $b=2$, $c=5$ y $d=3$.

Si lo que queremos conocer es el número de dulces en total, utilizaremos la parte izquierda de la expresión anterior.

$45 \left(2 + 5 + 3\right) = 45\left(10\right) = 450$

Hemos terminado. En total debe comprar 450 dulces. ¡Ah!, pero ¿qué tal si, necesita saber cuántas paletas, chicles y tamarindos debe comprar? Entonces debemos utilizar la otra parte de la expresión. Y verificaremos si es cierto que la expresión del lado derecho vale 450, como la parte izquierda.

$45 \left(2 + 5 + 3\right) = 45\left(2\right) + 45\left(5\right) + 45\left(3\right)= 90 + 225 + 135$

Multiplicamos 45 por cada uno de los elementos del paréntesis, y lo que obtuvimos es que serán 90 paletas, 225 chicles y 135 tamarindos. Si sumamos 90+225+135 resulta 450. ¡Listo! ¡Problema resuelto!

Ahora la maestra ya sabe que el problema de los dulces lo puede resolver con la propiedad distributiva. Analicemos otro caso.

Queremos encontrar el área de un rectángulo con las siguientes dimensiones:

$Base= x + 4$

$Altura = y – 5$

Antes de resolver esto, debes saber que la propiedad distributiva también funciona para cualquier agrupación de variables que quieras. Es decir, puedo escribir un paréntesis con la suma de 2 ó más variables y multiplicarla por otro paréntesis que contenga 2 o más variables. Fíjate bien:

  • Paso 1

    Elegimos la primera variable del primer paréntesis y multiplicarla por el segundo paréntesis

  • Paso 2

    Después elegimos la segunda variable y la multiplicamos por el segundo paréntesis.

  • Paso 3

    Si te fijas, los términos que obtuvimos son iguales a los que utilizamos para resolver el problema de la maestra, así que repetimos el procedimiento. Multiplicamos la variable $a$ por cada una de las variables del paréntesis.

  • Paso 4

    Por último, multiplicamos la variable $b$ por cada uno de los elementos del paréntesis.

Bien, ahora regresemos al problema del rectángulo. Sabemos que el área de un rectángulo es igual a base por altura. Podemos representarla como:

$A = \left(x+4\right) \left(y-5\right)$

No podemos determinar el área del rectángulo numéricamente, pero la podemos dejar indicada utilizando las variables. Aplicando la propiedad distributiva tenemos:

$A = \left(x+4\right) \left(y-5\right)$

$A = x \left(y-5\right) + 4\left(y-5\right)$

$A = xy -5x + 4y -20$

Ahora lo único que falta es simplificar el polinomio, pero como en esta ocasión no encontramos términos con variables y exponentes iguales, la expresión queda de la misma forma.

Hemos terminado y como podrás observar, el área que obtuvimos es un polinomio. Fíjate que hay términos con coeficientes negativos. Estos coeficientes fueron el resultado de multiplicar un número o variable positiva con uno negativo (ley de signos). Ten cuidado al realizar multiplicaciones, ya que el signo del coeficiente es importante.

Para concluir este ejercicio determina cuál es el grado del polinomio:

Respuesta:

done Evaluar

Recapitulando lo que hemos hecho hasta este punto debes tener en cuenta que:

  • Cuando el resultado sea un polinomio, siempre hay que simplificar. La única forma de simplificar es haciendo operaciones con los coeficientes de los términos que tengan la misma variable y el mismo exponente.
  • Al realizar la suma de términos semejantes, las variables no se modifican. Se escriben igual. Ten cuidado con los signos de los coeficientes.
  • No te olvides que, al multiplicar dos variables IGUALES, el resultado será la misma variable y su exponente es la suma de los exponentes de las variables que estamos multiplicando. Por ejemplo: $\left(a\right)\left(a^5\right)=a^6$. Pero no podemos hacerlo con $\left(a^5\right) \left(b\right)$. El resultado es $a^5\times b$.
  • Cuando aplicamos la propiedad distributiva en dos paréntesis de más de un término, debemos multiplicar el primer término del primer paréntesis por cada uno de los términos del segundo paréntesis, y así sucesivamente hasta que terminemos todos los elementos del primer paréntesis.

Autoevaluación

Ahora determina el grado de cada uno de los siguientes polinomios:

Ejercicio 1

$P=-15a^8\times b^5 + 4a^8\times b^3 – 5a^8\times b$

Grado =

$P= 49xyz + 508x^3\times y^2\times z – 1234x\times y^2\times z^2$

Grado =

$P= 13pq^9 – 54p^6\times q^3 – 19pq$

Grado =

done Evaluar

Ejercicio 2

Pon atención en las siguientes figuras. Hay varios rectángulos y cuadrados con altura $b$ y bases $a$, $b$ y $c$, respectivamente. Determina el polinomio que describe la suma de las áreas de todos los cuadriláteros.

1. Coloca la expresión del área dentro de cada rectángulo usando las variables $a$, $b$ y $c$. Después, en la línea de abajo escribe la suma de las áreas que encontraste. Escribe en orden las expresiones para considerarlas correctas. (Recuerda que para representar una variable al cuadrado $x^2$ puedes escribirla como x^2).

         

done Evaluar

 

2.Escribe el Polinomio que se construye a través de la suma de las áreas:

+ + + + +

done Evaluar

3. De las figuras anteriores, existen algunas iguales, lo que indica que podemos simplificar nuestra expresión. Ahora escribe el polinomio simplificado.

4. Escribe el polinomio que representan las siguientes figuras. Observa que ahora tenemos cuadrados con coeficiente negativo. Éstos tienen un color diferente. Ello significa que al desarrollar el polinomio deberás tener cuidado al escribir el coeficiente negativo.

El polinomio es:

+ + + + +

done Evaluar

5. Ahora simplifica el polinomio:

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