Polígonos regulares

Todo polígono regular puede ser inscrito en una circunferencia. Es decir, se puede trazar una circunferencia que pase por todos los vértices de un polígono.

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Polígonos regulares

Un polígono es una figura plana cerrada, es decir, el punto donde inicia es el mismo punto donde termina. Existen dos tipos de polígonos:

  • Irregulares: son aquellos de lados desiguales
  • Regulares: todos sus lados son iguales (y también sus ángulos interiores)

Los polígonos regulares se clasifican de acuerdo al número de lados que tienen. Existen algunos que tienen nombres particulares, sin embargo, un polígono tiene al menos 3 lados. A continuación, hay una tabla con los nombres de algunos de ellos.

Número de lados Nombre
3 Triángulo
4 Cuadrado
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octágono
9 Eneágono
12 Dodecágono

¿Alguna vez has observado un balón de fútbol? En realidad, es una esfera, pero dicha esfera es asombrosamente un conjunto de polígonos, como se observa en la figura.

Resulta que para lograr la curvatura del balón se unen 5 hexágonos: uno en cada lado de un pentágono. Un balón profesional tiene 12 pentágonos y 20 hexágonos, o sea 32 gajos en forma de polígonos regulares.

Si nos interesa conocer el área de un balón de fútbol, podríamos realizar un corte en las costuras e intentar extenderlo. Supongamos que la longitud de los lados de los polígonos es de 4 cm, es decir cada uno de los lados de cada hexágono y cad uno de los lados de cada pentágono, mide 4 cm.

Para calcular la superficie del balón de fútbol, necesitamos conocer el área de cada pentágono y hexágono. El área de cada polígono se puede obtener aplicando la fórmula $$A=\frac{p\times a}{2}$$ donde $A$ representa el área del polígono, $p$ su perímetro y $a$ su apotema. Como sabemos, el perímetro es la suma de las longitudes de los lados del polígono y el apotema es la distancia del centro del polígono al punto medio de uno de sus lados.

Con esta información ya puedes encontrar el área del balón de fútbol. Expresa tu respuesta con una cifra decimal.

  1. Área de los 12 pentágonos = $cm^2$
  2. Área de los 20 hexágonos = $cm^2$
  3. Área total del balón = $cm^2$
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Todo polígono regular puede ser inscrito en una circunferencia. Es decir, se puede trazar una circunferencia que pase por todos los vértices de un polígono. Esto quiere decir que el centro de la circunferencia será precisamente el centro del polígono.

La palabra polígono significa “muchos ángulos”y como hemos visto, los polígonos regulares tienen lados iguales, pero también sus ángulos interiores son todos iguales.

Si $n$ es el número de lados de un polígono regular, entonces $n-2$ la medida de cada ángulo interior del polígono, mide: $$180º\frac{(n-2)}{n}$$

Con esta expresión determina el ángulo de los vértices de un dodecágono.

°

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Ahora, en cada línea escribe la medida de los ángulos interiores de los primeros polígonos regulares.

Triángulo equilátero

°

Cuadrado

°

Pentágono

°

Hexágono

°

Heptágono

°

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¿Has construido un papalote?

¿Sabías que en náhuatl papalotl quiere decir mariposa? De ahí viene la palabra en español papalote. Las mariposas monarcas son conocidas como los papalotes de la montaña. En España les llaman cometas a los papalotes y en inglés se dice kites. Seguramente alguna vez has hecho un papalote. Es muy bonito. Incluso hay países en donde se realizan concursos de papalotes. A México llega con los españoles. Los indígenas lo llamaron papalote (en realidad papalotl - mariposa) pues les pareció eso más que otra cosa. También se le llama papalote a un árbol de la familia de las ulmáceas, el olmo (Chaltopolea mexicana), pues sus frutos (o semillas) tienen pequeñas alas.

Actualmente hay diversas formas de papalotes, los más populares y fáciles de hacer son los de forma rómbica, pues basta un par de varillas de madera y un trozo de tela o plástico para el cuerpo, un cordón para volarlo y trozos de tela o plástico para la cola. Los más elaborados se usan en competencias donde se evalúan la velocidad, belleza y coordinación (al estilo de los vuelos coordinados de los aviones) y pueden llegar a costar varios cientos de dólares.

Para lograr un mejor diseño es importante unir las varillas fuertemente, así lograrás que esté mejor extendido y vuele con mayor facilidad. La clave está en colocar las varillas de manera que los ángulos entre ellas sean de 90°. Las varillas se unen en el punto medio de la varilla más corta, y en la tercera parte de la varilla más larga.

Encuentra el área del papalote en forma de rombo, si la varilla más larga mide $60\: cm$. y la más corta mide $30\: cm$.

$cm^2$

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Hay dos formas de encontrar el área de un rombo: una es por medio de la fórmula eje mayor por eje menor entre 2. La más fácil es ver el rombo como una figura compuesta por 4 triángulos rectángulos, así se calcula el área de cada triángulo y al final se suman.

Autoevaluación

La caja de chocolate

¿Alguna vez has desayunado chocolate caliente en la mañana o lo has tomado en la noche cuando hace frío? Tal vez lo has tomado frío, también es rico. Te parece conocida una caja amarilla que contiene barras de chocolate.

Fíjate que estamos creando un empaque similar al de la caja de chocolates con las siguientes dimensiones: altura $10.5\: cm$, longitud de los lados de la base es de $4.5 \:cm$, el volumen de la caja es de $550 \:cm^3$. Ayúdanos a encontrar el área de caja para saber cuánto cartón utilizaremos en la construcción de la caja.

Podemos pensar en la caja abierta sin pestañas.

El volumen es igual al área de la base por la altura, es decir, si $A$ es el área de la base y $h$ la altura de la caja escribimos:$$V=Ah$$

Además, sabemos que el volumen de la caja es de $550 \:cm^3$, y su altura es de $10.5 \:cm$. Así que:$$V=Ah=550 \Rightarrow A\left(10.5\right)=550$$

Despejamos el área de la base y tenemos que:$$A=\frac{550}{10.5}=52.38$$

Por otro lado, sabemos que la base es un hexágono, sabemos que si su perímetro es $p$ y $a$ su apotema entonces: $$A=\frac{pa}{2}$$

El perímetro es igual al número de lados por la longitud de sus lados, entonces: $$p=6\left(4.5\right)=27\:cm$$

De la fórmula de área podemos despejar para encontrar el valor del apotema $a=\frac{2A}{p} = 3.88$

Observa que las caras laterales de la caja son rectángulos que miden $4.5\:cm$ de base por $10.5\:cm$ de altura.

Con esta información encuentra el área total de la caja. Redondea a dos decimales el resultado. $cm^2$

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