Factorización

Si al dividir un número entero $a$ entre otro entero $b$, la división es exacta -o sea que el residuo es cero- entonces decimos que $b$ es factor de $a$.

Por ejemplo, cuando divides $100$ entre $5$ el cociente es $20$ y el residuo cero. Entonces, decimos que $5$ es factor de $100$ o, equivalentemente, que $5$ es divisor de $100$ o que $100$ es múltiplo de $5.$

Observa que, entonces, la división está ligada con la multiplicación: $$5 \times 20 = 100$$

$5$ y $20$ son factores de $100$ y también son sus divisores.

La divisibilidad estudia las condiciones que deben cumplir dos números enteros para que uno de ellos divida al otro de exactamente. En otras palabras, estudia cuando un número es factor de otro. Revisa la uapa "Divisibilidad" para que conozcas los criterios de divisibilidad que permiten distinguir, de una manera más rápida, y eficiente, cuando un número es factor de otro.

Una de las aplicaciones de los criterios de divisibilidad es la de ayudarnos a descomponer un número entero en producto de sus factores. Este proceso se conoce con el nombre de factorización o descomposición en factores. En la uapa "Factorización" podrás aprender cómo se factorizan números enteros.

La factorización permite expresar como producto de sus factores a un número entero, puede realizarse gracias a la propiedad distributiva de los números reales ¿la recuerdas? $$a(b+c)=(ab)+(ac)$$

Aquí $a,b$ y $c$ son números reales.

Factorización de expresiones algebraicas

No solamente los números se factorizan, también es posible factorizar expresiones algebraicas encontrando sus factores. En estas expresiones, se combinan números reales y literales. A las literales les llamamos coeficientes si representan números reales conocidos o incógnitas o variables si representan valores desconocidos.

Por ejemplo, en la expresión $ax^3 + bx^2 + cx$, la variable $x$ representa un número real desconocido y $a,b,c$ representan tres valores reales conocidos.

En este caso, los tres sumandos tienen como factor a $x$ por lo que podemos factorizar así (recuerda que una de las formas de indicar un producto es usando paréntesis): $$ax^3 + bx^2 + cx = x \left(ax^2 + bx + c\right)$$

En ocasiones, la factorización nos ayuda a resolver ecuaciones. Supongamos que tenemos la expresión $x^3+x^2-6x$ y queremos resolver la ecuación: $$x^3+x^2-6x=0$$ la expresión dada se factoriza como $$x^3+x^2-6x=x(x^2+x-6)=x(x-2)(x+3)$$ por lo que será igual a cero cuando alguno de los factores sea cero. Esto ocurre cuando $x=0$ o $x=2$ o $x=-3$. Así, las soluciones de la ecuación $x^3+x^2-6x=0$ son precisamente $0, 2$ y $-3.$

Veamos otro ejemplo. Factorizar la siguiente expresión: $$3ax + 6a^2y + 21a^3z$$

Observa que cada sumando tiene como factor común a $3a$ por lo que tenemos, $$3ax + 6a^2y + 21a^3z = 3a \left(x + 2ay + 7 a^2z\right)$$

Ejercicio

Factoriza la expresión siguiente. Para expresar potencias usa el símbolo ^, por ejemplo, $x^3$ se escribiría como x^3.

Productos notables

Observa la siguiente igualdad: $$\left(w+4\right) \left(w-4\right) = w^2 – 16$$

Así, el producto de dos binomios conjugados es la factorización de una diferencia de cuadrados.

Ejercicio

¿Cómo factorizarías la siguiente expresión?

La familia Rodríguez tiene un terreno en forma de cuadrado. Ellos quieren dividir el terreno en cuatro partes de manera que en una parte se contruya una casa, en otra parte haya un estacionamiento, una sección para un gimnasio y finalmente un jardín, que quieren que sea del mismo tamaño que el del estacionamiento. La siguiente figura muestra la distribución deseada. Las variables $a$ y $b$ representan las medidas de los espacios y ellos desean encontrar una expresión que describa el área de su terreno.

Escribe las expresiones en tu cuaderno y simplifica la expresión.

Elige la respuesta correcta:

Este es otro producto notable, se conoce como cuadrado de un binomio. Observa que $$\left(a+b\right)^2 = \left(a +b\right) \left(a + b\right) = a^2 + 2ab + b^2$$

La expresión de la derecha es un trinomio cuadrado perfecto. El nombre de trinomio es porque tiene tres términos o sumandos.

Ejercicio

¿Cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden $a+5$? recuerda usar el símbolo ^ para expresar potencias (por ejemplo, $2$ al cubo se escribirá como 2^3).

Factorización de polinomios cuadráticos

Ahora encontremos el área, $A$, de un rectángulo con las siguientes dimensiones:

Haciendo el producto, se obtiene $$\left(w+4\right)\left(w-2\right)=w^2-2w+4w+(4)(-2)$$

Observa que hay dos términos semejantes, por lo que podemos sumarlos: $-2w+4w=2w.$ Los términos numéricos -los que no tienen literales- los multiplicamos $(-4)(2)=-8.$ Así, obtenemos: $$\left(w+4\right)\left(w-2\right)=w^2+2w-8$$

la expresión resultante es un polinomio cuadrático, con variable $w$. Los polinomios cuadráticos son expresiones algebraicas en las que hay:

1. un término cuadrático: la variable está elevada al cuadrado y tiene un coeficiente distinto de cero (si es $1$ no se escribe). También se conoce como término de grado $2$
2. un término lineal: la variable aparece elevada a la potencia $1$ -este exponente no se escribe- aunque el coeficiente podría ser cero y por tanto no habría término lineal. También se le llama término de grado $1$
3. un término libre, en el que la variable "no aparece". En realidad no se escribe porque está elevada a la potencia $0$ y como $w^0=1$ y el uno no se escribe, por eso no aparece en la expresión. Tambien se conoce como término de grado $0$

Entonces, un polinomio cuadrático con variable $x$ tiene una expresión general como esta: $$a_2x^2+a_1x+a_0$$

en la que $a_2, a_1$ y $a_0$ son números reales y el único que debe ser distinto de cero es $a_2.$

Observa que, en este ejemplo, estamos obteniendo un polinomio cuadrático como resultado del producto de dos polinomios lineales con variable $w$. Esto significa que el polinomio cuadrático obtenido, se factoriza como producto de dos polinomios lineales, entonces esos polinomios son sus factores o divisores. Esto es, $$w^2+2w-8=(w+4)(w-2)$$

¿Y será que un polinomio cuadrático siempre pueda descomponerse en el producto de dos lineales? pues, desafortunadamente la respuesta es no. Cuando un polinomio cuadrático puede descomponerse de esta manera, se llama polinomio reducible e irreducible cuando no es posible descomponerlo. Los polinomios irreducibles funcionan de manera similar a los números primos en los enteros, pero de esto no hablaremos en esa ocasión.

Lo que es importante que observes es cómo es el polinomio cuadrático que obtuvimos como resultado. Esto te dará un criterio para saber cuándo el polinomio se puede descomponer en factores lineales.

Nota que en el polinomio $w^2+2w-8$ el coeficiente del término cuadrático es $1$ (recuerda que no se escribe). El coeficiente del término lineal es la suma de los dos términos libres de los factores: $(w+4)(w-2)$ pues $2=4-2$. Además, el coeficiente del término libre es el producto de los términos libres $-8=(4)(-2)$

Entonces, si se tiene un polinomio cuadrático con coeficiente $1$ en el término cuadrático y es posible encontrar dos números reales tales que su suma sea igual al coeficiente del término lineal y su producto sea igual al término libre, ¡bingo! podemos factorizarlo como producto de dos polinomios lineales.

Supongamos que ahora queremos factorizar el polinomio : $$g^2 -3g-10$$

¿Podemos encontrar dos números que al sumarse den $-3$ y al multiplicarse $-10$? Veamos, si buscamos dos números cuyo producto sea $-10$, tendremos que considerar la descomposición en factores del $10$ (revisa la uapa "Factorización") y recordar que, al ser un resultado negativo, será necesario que estos factores tengan signo distinto.

Representemos los números desconocidos con las variables $x,y$, así, tenemos que: $$xy = -10$$ $$x+y=-3$$ como $10=1 \times 10 =2 \times 5$ entonces, las opciones posibles son:

$x=1, y=-10$

$x=-1, y=10$

$x=-2, y=5$

$x=2, y=-5$

Ahora, hay que revisar cuál de estas opciones cumple la segunda relación:

Si $x=1, y=-10$ entonces $x+y=1-10=-9 \neq -3$ no son.

Si $x=-1, y=10$ entonces $x+y=-1+10=9 \neq -3$ no son.

Si $x=-2, y=5$ entonces $x+y=-2+5=3 \neq -3$ no son.

Si $x=2, y=-5$ entonces $x+y=2-5=-3 \neq -3$ ¡esta es la pareja buscada!

Entonces, la factorización será: $$g^2 -3g-10 = (g+2)(g-5)$$

Autoevaluación

Encuentra ahora la factorización de los siguientes polinomios. Acomoda los factores de manera que, en los factores, los términos libres estén en orden decreciente y expresa los exponentes usando el símbolo ^, por ejemplo, 5 al cubo se escribiría como 5^3: