¿Qué es un sitema de ecuaciones lineales?

Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de ecuaciones en la que todas sus incógnitas tienen exponente uno. Es decir, cada ecuación es de primer grado.

Podría ser que tuvieran una sola incógnita o varias. Generalmente se usa la laetra $m$ para indicar cuántas ecuaciones hay y la letra $n$ para indicar cuántas incógnitas tiene el sistema. Así, hablamos de un sistema de ecuaciones lineales de $m \times n$ si es una colección de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas entre todas ellas.

Y decimos que forman un sistema si lo que se pretende es encontrar una solución simultánea, es decir, una solución que lo sea para todas las ecuaciones del sistema.

Así por ejemplo, el siguiente es un sistema de $2 \times 1$

$$2x=3$$

$$\frac{2}{3}x=1$$

tiene dos ecuaciones y una sola incógnita: $x.$ No es difícil ver que la solución $x=\frac{3}{2}$ es simultánea, pues satisface las dos ecuaciones.

Es posible construir un sistema de $m \times n$ para cualesquiera dos cantidades $m$ y $n$ y después buscar soluciones simultáneas. Las herramientas del álgebra lineal y la teoría de ecuaciones nos permiten hacerlo.

Sin embargo, en esta ocasión estudiaremos solamente sistemas de $2 \times 2$ es decir, de dos ecuaciones y dos incógnitas. Estos son de los sistemas más estudiados en secundaria y bachillerato y de los más usados en las aplicaciones. La expresión genérica de estos sistemas es la siguiente:

$$ \left\{\begin{array}{cccccc} ax & + & by & = & e\\ cx & + & dy & = & f \end{array} \right. $$

Entonces, por ejemplo, el siguiente es un sistema de ecuaciones lineales de $2 \times 2:$

$$\left\{\begin{array}{cccccc} x & + & y & = & 0\\ x & - & y & = & 2 \end{array} \right. $$

¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones?

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden resolverse de muy distintas formas. Para resolver sistemas de $2 \times 2$ existen

• Igualación
• Suma y resta (también llamado método de eliminación o reducción)
• Método gráfico
• Sustitución
• Regla de Cramer (en el que hay que usar determinantes)

En esta UAPA aprenderás a usar dos métodos: el de igualación y el de sustitución.

Método de igualación

Veamos un problema de distancia. Supongamos que tenemos dos corredores, Agustín y Alonso. Sus ecuaciones de movimiento son:

$d = 3t + 12$ (Ecuación del movimiento de Agustín)

$d = -3t + 36$ (Ecuación del movimiento de Alonso)

Nos preguntamos ahora, ¿llegará el momento en que ambos corredores se crucen?, La distancia está medida en metros y el tiempo en segundos. Veamos que sucede.

La receta para resolver sistemas de ecuaciones mediante sustitución es:

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones obtenidas.
3. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que se obtuvo.
4. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la que se encontró en una de las ecuaciones despejadas del primer paso.
5. Se tienen los dos valores.

Regresemos a nuestro problema, vayamos siguiendo la receta. Cómo ambas ecuaciones son iguales a d, ya no tenemos que despejarla, así que sólo las igualamos: 3t+12=-3t+36

Hacemos operaciones para que nos queden las incógnitas de lado izquierdo y los términos independientes de lado derecho. Resolvemos la ecuación lineal

$3t+3t+12=-3t+3t+36$

$3t+3t+12=36$

$6t+12-12=36-12$

$6t=24$

$\frac{6t}{6}=\frac{24}{6}$

$t=4$

Sustituimos el valor de t en cualquiera de las ecuaciones, digamos lo hacemos en la ecuación de Agustín

$d=3t+12$

$d=3(4)+12=12+12=24$

$d=24$

Por lo tanto, tenemos que los corredores se encontrarán en un tiempo de $24$ segundos y una distancia de $24$ m.

¿Ves que no ha sido difícil?, vayamos a un ejemplo más.

Nos han aplicado un examen de opción múltiple, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay 100 preguntas y no se admiten respuestas en blanco (hay que contestar todas). La nota que obtuvimos es de 80.5 sobre 100. Calcular el número de preguntas que contestaste correcta e incorrectamente.

Primero debemos plantear las incógnitas, definamos:

$x:$ número de respuestas correctas

$y:$ número de respuestas incorrectas

Como las suma de las respuestas correctas e incorrectas debe ser el total de las preguntas, entonces $x+y=100$

Ahora, sabemos que por cada respuesta correcta se tiene un punto y por cada incorrecta se resta $0.5$, por lo que la ecuación es: $1x-0.5y=80.5$

Como $1x=x,$ podemos reescribir $x-0.5y=80.5$

Por lo que nuestro sistema de ecuaciones queda de la manera siguiente:

$x+y=100 \qquad (1)$

$x-0.5y=80.5 \qquad (2)$

Sigamos el método, despeja alguna de las variables tratando de obtener una ecuación lineal que te sea fácil de manejar. Digamos que eliges $x,$ entonces,

en $(1)$ se tiene $x=100-y$

y en $(2)$ se tiene $x=80.5+0.5y$

Ahora igualamos ambas ecuaciones

$100-y=80.5+0.5y$

Pasamos a la izquierda las $y’s$

$-y-0.5y=80.5-100$

$-1.5y=-19.5$

$y=\frac{-19.5}{-1.5} =13$

Sustituimos el valor de $y$ en cualquiera de las ecuaciones, lo haremos en (1) pero puede ser cualquiera de las dos:

$x=100-y$

$x=100-13$

$x=87$

Así, la solución es $x=87$ y $y=13$ por lo que concluimos que se han respondido 87 preguntas correctamente y 13 de forma incorrecta.

Método de sustitución

El siguiente método que estudiaremos es el de sustitución. En este método se busca despejar una incógnita de una de las dos ecuaciones y sustituir ese “despeje”, en la otra ecuación.

El método para resolver los sistemas por sustitución es elsiguiente:

1. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita que resulta de esta sustitución.
3. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.

Veamos un ejemplo para practicar este método.

Resolver por sustitución el siguiente sistema:

$2x+y=6 \qquad (1)$

$4x+3y=14 \qquad (2)$

1. Despejamos alguna de las incógnitas, veamos cuál de ellas nos deja una expresión sin fracciones (esto no siempre es posible). Después de observar vemos que lo mejor es despejar $y$ de la primera ecuación, con lo que obtenemos: $y=6-2x$

2. Esto lo sustituimos en la segunda ecuación: $4x+3(6-2x)=14$

   Realizamos operaciones:

   $4x+18-6x=14$

   $-2x+18=14$

   $-2x=14-18$

   -$2x=-4$

   $x=\frac{-4}{-2}=2$

   Este resultado lo sustituimos en cualquier ecuación, digamos en $(1):$

   $2(2)+y=6$

   $4+y=6$

   $y=6-4$

   $y=2$

De esta manera la solución es $x=2$ y $y=2$

Como puedes ver, es cuestión de practicar. Vayamos a un ejercicio más.

Se realiza una excursión al Iztaccíhuatl y se establece en el cuello de la montaña un campamento, el guía pide que ingieran cierta cantidad de leche y jugo de naranja que les permitirá tener la energía necesaria para realizar con éxito la escalada, si sabemos que 1 onza de leche contiene 38 miligramos (38 mg) de calcio y 56 microgramos (56 μg) de vitamina A y 1 onza de jugo de naranja contiene 5 miligramos (5 mg) de calcio y 60 microgramos (60 μg) de vitamina A. ¿Cuántas onzas de leche y jugo de naranja deberán tomar para obtener exactamente 555 miligramos (mg) de calcio y 1200 microgramos (μg) de vitamina A?

Después de leer con detenimiento el problema, definamos nuestras incógnitas. Sean,

$x:$ cantidad de leche en onzas

$y:$ cantidad de jugo en onzas

Ahora proponemos las ecuaciones

$38x+5y=555$ cantidad de calcio

$56x+60y=1200$ cantidad de vitamina A

Por lo que el sistema de ecuaciones queda de la manera siguiente:

$38x+5y=555 \qquad (1)$

$56x+60y=1200 \qquad (2)$

despejamos $y$ de $(1):$

$5y=555-38x$

$y=\frac{555-38x}{5}$

Sustituimos en $(2):$

$56x+60y=1200$

$56x+60(\frac{555-38x}{5})=1200$

Realizamos operaciones

$56x+(\frac{60}{5})(555-38x)=1200$

$56x+(12)(555-38x)=1200$

$56x+6660-456x=1200$

$56x-456x=1200-6660$

$-400x=-5460$

$x=\frac{-5460}{-400}$

$x=13.65$

Sustituimos en cualquiera de las ecuaciones, digamos en $(2):$

$56x+60y=1200$

$56(13.65)+60y=1200$

$764.4+60y=1200$

$60y=1200-764.4$

$60y=435.6$

$y=\frac{435.6}{60}$

$y=7.26$

Por lo que deben consumir $13.65$ onzas de leche y $7.26$ onzas de jugo de naranja.

Esperamos que este tema te haya sido de interés. Es muy importante que lo revises si has tenido alguna duda, recuerda que la práctica hace al maestro y para fortalecer tu aprendizaje, te invitamos a realizar la siguiente actividad.

Autoevaluación

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones en tu cuaderno. Puedes usar cualquiera de los dos métodos que aprendiste, pero para que practiques los dos te sugerimos que uses el método que se te solicita.