Función cuadrática
Es importante que recuerdes que en el Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA), la velocidad NO es constante, por lo que se presentan cambios en ella dando paso a la aceleración. Este es un movimiento es más frecuente pues cotidianamente, ya sea en algún vehículo o en tu propio caminar, frenas o aceleras. En el movimiento uniformemente acelerado (MUA), consideramos que los cambios en la velocidad se producen de manera uniforme, es decir, por cada unidad de tiempo se produce el mismo aumento (o disminución) en la velocidad, por lo que la aceleración es constante.
Vinculadas a este tipo de movimiento trabajamos con dos fórmulas básicas de la Física que nos proporcionan la distancia y la velocidad en función del tiempo. Éstas son:
$d = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + d_0$
$v = at + v_0$
Sus gráficas son una parábola, en el caso de la distancia, y una recta, para la velocidad.
En nuestro caso vamos a analizar la función cuadrática (cuya forma canónica es $y = ax^2 + bx + c$) y sus características. Para iniciar el análisis de este tipo de funciones empezaremos por las más sencillas, cuando $b$ y $c$ son ambos cero, por lo que sólo aparece el término cuadrático reduciéndose de esta manera a la forma $y = ax^2$
Pensemos que nuestra amiga Vicky (todos hemos tenido una amiga Vicky, o ¿no?) va de paseo a Pachuca junto con su familia. Justo va a abandonar la caseta de cobro (momento en que se inicia el conteo del tiempo) y empezaron a circular con una aceleración constante de $4 \, m/s^2$, y que la distancia estaba dada por la función $d = 2t^2$. Los datos correspondientes se dan en la siguiente tabla.
Tiempo (s) | Distancia (m) |
---|---|
0 | 0 |
1 | 2 |
2 | 8 |
3 | 18 |
4 | 32 |
La gráfica que representa este movimiento es:
La razón de que tengamos una curva en vez de una recta como era el caso del MRU, radica precisamente en que la velocidad NO es constante. La gráfica que obtenemos para esta función cuadrática es un segmento de la rama de una parábola, ya que no estamos considerando valores negativos para el tiempo. Si tomáramos en cuenta los valores negativos, ¿cómo quedaría la gráfica?, ¿ya te la imaginaste?
El cambio de y en las funciones cuadráticas
Las funciones, nos permiten modelar situaciones y fenómenos en los que hay dos variables involucradas, una de las cuales (llamémosla $y$) depende de la otra (digamos $x$). Con frecuencia surge la siguiente pregunta, ¿cómo se comportan los cambios en y, cuando consideramos cambios de igual magnitud en $x$? Por ejemplo, es conveniente saber cómo irá cambiando una población cada determinado periodo de tiempo, o en el caso que nos ocupa del movimiento uniformemente acelerado, la pregunta sería ¿qué tanto y qué tan rápido varía la distancia recorrida cada cierto lapso de tiempo? Por ello queremos estudiar las características de la variación de las funciones, en este caso de las cuadráticas.
Antes de trabajar con los valores numéricos de una tabla, veamos primero gráficamente qué sucede con los valores de $Δy$ cuando en una función cuadrática tomamos valores iguales de $Δx$. Observa la siguiente gráfica de la figura A:
Aunque estamos tomando valores iguales de $Δx$, es decir los mismos cambios de $x$, podemos ver que los cambios respectivos en $y$ NO son iguales entre sí. ¿Cómo será el próximo cambio de $y$ si mantenemos $Δx$ igual a los anteriores? ¿Cómo van cambiando los valores de $Δy$?
Seguramente observaste que aunque los valores de $Δx$ sean iguales, los valores de $Δy$ NO lo son, por lo que surge la pregunta: ¿cómo cambian los valores de $Δy$? Es decir, ¿cómo cambian los cambios de $y$? Toma un momento para asegurarte de que entiendes esta pregunta perfectamente. De lo contrario, reflexiona hasta que llegues a una comprensión profunda del concepto “cambio del cambio”.
En la siguiente gráfica, a valores diferentes de $x$, les estamos asociando el segmento con longitud $Δy$ que le correspondía en la gráfica anterior. Como estos segmentos van cambiando de tamaño, podemos ver cuál es la diferencia de uno a otro. A este valor $Δ(Δy)$ lo representaremos por $Δ_2y$ y a veces se le llama “la segunda diferencia” de $y$. Observa la siguiente gráfica:
En ella se visualiza cómo el cambio del cambio de $y$ resulta ahora del mismo tamaño. Es decir, en una función cuadrática, cuando tomamos valores iguales para $Δx$, los valores de $Δy$ son diferentes, pero los de $Δ_2y$ son iguales.