Números reales $\mathbb{R}$

Los números reales se expresan como números decimalesinsert_link.

• Si se trata de un número entero entonces no lleva punto ni cifras decimales (revisa las uapas: los números naturalesinsert_link, números enteros y la rectainsert_link.
• Si se trata de un número racional -es decir un número que puede expresarse como una fracción- llevan punto y una cantidad finita de cifras decimales o una cantidad finita de cifras que se repiten periódicamente de manera infinita, por ejemplo el número $\frac{1}{3}$ cuya representación decimal es $0.33333…$ para inidicar esta repetición, cubrimos con un segmento los números que se repiten, así $0.\overline{3}$ (revisa las uapas: operaciones con fracciones y formas de escribir números racionalesinsert_link.
• Finalmente, los números irracionales (¡sí, también son reales) tienen una cantidad infinita de cifras decimales que no presentan patrón de repetición. Por ejemplo como $\pi$, el número $e$ o las raíces cuadradas de números primos. (revisa las uapas que hablan de los números irracionales).

Los números reales pueden ser negativos, positivos o cero.

¿Cómo los usamos?

Imagina que estás en un restaurante con tus amigos celebrando tu cumpleaños y al momento de pedir la cuenta, les traen en una sola lo que ordenaron todos. Aunque sea una sola cuenta ustedes acordaron que cada quien pagaría lo que le corresponde.

En el caso de que todos hayan ordenado lo mismo, lo más sencillo es dividir el total entre el número de personas para saber cuánto le corresponde pagar a cada quien. Y en el caso en que hayan ordenado distinto, cada quién debe revisar el menú y sumar los precios de cada cosa que pidió para tener su total individual. Una vez que todos hayan hecho este cálculo, lo mejor que pueden hacer es del total de la cuenta restar uno por uno los totales de cada quien para cerciorarse de que todo esté cubierto. Finalmente, en la mayoría de los restaurantes se acostumbra dejar el $10\%$ de propina, y para saber cuánto es, cada quien tiene que multiplicar su total individual por $0.1$.

A los cálculos que realizaron se les conoce como operaciones elementales y estas son: suma, resta, multiplicación y división.

Suma

La primera operación que revisaremos es la que usamos con mayor frecuencia. Por ejemplo, cuando llevamos tiempo ahorrando dinero para comprar algo y lo contamos para saber si ya juntamos la cantidad que necesitamos, lo que hacemos es una suma.

En la suma o adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado , sabemos por las propiedades de los números reales que el orden de los sumandos no altera el resultado.

Observa que es posible sumar números positivos o negativos (por supuesto el cero también). Recuerda que a los números positivos no se les pone ningún signo pero a los negativos sí: el signo menos del lado izquierdo.

Cuando dos números tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutosinsert_link y al resultado se le coloca el signo común.

Por ejemplo:

$$4 + 4 = 8$$

$$(−4) + (−4) = − 8$$

$$7.2 + 3.3 = 10.5$$

$$\sqrt{3} + (-5\sqrt{3}) = -4\sqrt{3}$$

¿Y cuándo sumamos números negativos en la vida diaria? Por ejemplo cuando vamos de compras y es temporada de descuentos. A veces un producto tiene dos o tres promociones y para saber la cantidad total que se descuenta, sumamos las cifras de cada descuento. Es decir, imagina que una blusa de $\$100$ tiene el $10\%$ de descuento y además en cualquier compra te descuentan $\$15$, entonces, el total descontado es $(-10)+(-15)= -25$ pesos.

También sumas números negativos cuando gastas tus ahorros, si tienes ahorrados $\$500$ y compras algo que cuesta $\$150$ sumas a tu ahorro $-150$ para obtener $500+(-150)=350$ lo que te queda de ahorro. Si los números son de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le coloca el signo del número con mayor valor absoluto.

Por ejemplo:

$$− 3 + 5 = 2$$

$$3 + (−5) = − 2$$

$$\sqrt{3} + (-5\sqrt{3}) = -4\sqrt{3}$$

$$-9.67 + 2.41 = -7.26$$

Imagina que tienes un profesor que deja pequeñas tareas opcionales para agregar puntos extra a tu calificación. Sin embargo, también resta tres décimas por cada falta de participación (en un foro virtual o en una clase presencial). Supongamos que tu calificación parcial es $8.4$, juntaste un punto extra con las tareitas pero no participaste en dos ocasiones. Entonces, tu calificación final sería $8.4 + 1 + (-0.3) + (-0.3) = 8.8$, el resultado de una suma de números con signo distinto.

Resta

La siguiente operación es la contraparte de la suma. Supongamos que en una librería les interesa saber cuántos libros tienen al final de cada mes. Se registran en algún control interno, todos los libros que se venden y todos los que se compran durante el mes. Entonces, para saber la cantidad de libros que hay en existencia sin tener que contarlos uno por uno cada mes primero suman a la cantidad de libros con que iniciaron el mes, la cantidad de libros comprados y, a este número le restan la cantidad de libros que se vendieron durante el mes.

Una resta es una operación que se realiza entre dos números: el minuendo, que es el número al que se le resta -o sustrae o quita- una cantidad; y el sustraendo,

• Si tanto el minuendo como el sustraendo son números positivos, lo primero que hay que hacer es identificar cuál de los dos es mayor. Si el mayor es el minuendo, a este se le resta el sustraendo y el resultado será positivo.

  Ejemplo: $$(16.8)-(14.9) = (16.8-14.9) = 1.9$$

  En cambio, si el sustraendo es mayor que el minuendo, al sustraendo se le resta el minuendo y el resultado tendrá signo negativo.

  Ejemplo: $$(37)-(52) = -(52-37) = -15$$

• Si el minuendo es un número positivo y el sustraendo negativo, el resultado será la suma de los valores absolutos y se mantendrá el signo positivo.

  Ejemplos: $$(28)-(-30) = 28+30 = 58$$

  $$(37.8)-(-5.1) = 37.8+5.1 = 42.9$$

• Si tanto el minuendo como el sustraendo son números negativos, al valor absoluto del sustraendo se le resta el valor absoluto del minuendo y el resultado tendrá el signo del número con mayor valor absoluto.

  Ejemplos: $$(-13)-(-25) = (-13) + (25) = (25-13)= 12$$

  $$(-8.6)-(-5.2) = (-8.6) +(5.2) = -(8.6-5.2) = -3.4$$

• Si el minuendo es un número negativo y el sustraendo positivo, se suman ambos valores absolutos y el resultado tendrá signo negativo.

  Ejemplos: $$(-15)-(7) = -(15+7) = -22$$

  $$(-108.57)-(3.23) = -(108.57+3.23) = -111.8$$

Multiplicación

Ahora revisemos qué sucede con la multiplicación. Esta también es una operación de dos números, ambos llamados factores, su resultado es el producto.

Usamos la multiplicación cada vez que compramos algo. Supongamos por ejemplo que un tulipán cuesta $\$5.50$ y queremos comprar una docena, ¿cuánto vamos a pagar?

Observa que podrías responder a esta pregunta sumando $12$ veces $5.50$ pero ¿y si ahora quieres saber cuál es el precio de $30$ flores o de $68$ flores o de $45$ docenas? este proceso se puede volver muy complicado.

La multiplicación nos ayuda a responder de manera más rápida, al multiplicar $5.50$ -el precio de cada flor- por $12$ -la cantidad de flores a comprar- $5.50 \times 12 = 66$

Obtenemos que el resultado es $66$ o sea que el precio de la docena son $\$66$.

Esta operación obedece a las llamadas leyes de los signos:

• Si se multiplican números del mismo signo el resultado es positivo.

  Ejemplos: $$(-4.5)\times(-4) = 18$$ $$2.8 \times 5.4 = 15.12$$

• Si se multiplican números de signos distintos, el resultado es negativo.

  Ejemplos: $$(-3)\times(3) = -9$$ $$7.4\times(9.5) = -70.3$$

  $$ (-5)\times (3.6)= -18$$

División

Por último, tenemos a la división, la usamos cuando queremos repartir algo. Por ejemplo, si en una bolsa de dulces hay $100$ piezas y se quieren repartir entre $3$ hermanos, ¿cuántos dulces le tocarán a cada uno? Esto es equivalente a preguntar ¿cuántas veces “cabe” el $3$ en el $100$? El número a dividir es el dividendo, y el número que divide es el divisor. Para este ejemplo, $100$ es el dividendo y $3$ el divisor.

Así como la resta está relacionada con la suma, la división está relacionada con la multiplicación.

En general podemos dividir el número $a$ por el número $b$ siempre que $b$ no sea $0$. El resultado de la división se llama cociente y el resto o residuo, es lo que sobra. Para el ejemplo de los dulces y los hermanos, al dividir $100\div 3= 33$ es decir, el cociente es $33$ y el residuo 1.

Por lo tanto $3(33) + 1 =100$ esto se cumple en general $(cociente \times divisor) + residuo = dividendo$

Este resultado nos dice que a cada hermano le tocan $33$ dulces y sobra $1$ dulce (el residuo). Si continuamos dividiendo, tendremos como cociente un número racional, expresado en notación decimal: $3.\overline{3}$ (la línea sobre el 3 significa que después del punto sigue infinitamente el número “3”). Revisa la uapa formas de escribir números racionalesinsert_link para que conozcas más sobre estos números.

En la divisióninsert_link de números reales, aplican las siguientes reglas de signos.

Si se dividen números de signos iguales, el resultado es positivo.

Ejemplos:

$$68 \div 5= 13.6$$

$$(-95)\div(-23)= 4.13$$

Si se dividen números de signos distintos, el resultado es negativo.

Ejemplos:

$$80 \div (-4)= -20$$

$$43 \div (-21)= -2.04$$

Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que cero, y no entre el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos.

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